Questão 4: Tensão sob Sapata Circular (Eixo Central)

Uma sapata circular de raio R=2.0+0.1 N \mathrm{~m}, peso específico \gamma=25+0.1 N \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}, altura h=0.5+0.05 N \mathrm{~m}, suporta uma carga vertical concentrada de Q=500+20 N \mathrm{kN}. Calcule a tensão de cisalhamento máxima ( \tau_{\max } ) devida ao carregamento q no ponto A, localizado sob o centro da sapata, a uma profundidade z=1.5+0.1 N \mathrm{~m}. Considere:
  • Tensão normal vertical \sigma_{z} (equação de Boussinesq):
\sigma_{z}=q\left[1-\frac{1}{\left(1+(R / z)^{2}\right)^{3 / 2}}\right]
onde q\left[\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}\right] é a carga distribuída aplicada pela sapata ao solo;
  • Tensão normal horizontal \sigma_{h} devida ao empuxo:
\sigma_{h}=K_{0} \cdot \sigma_{z}
em que K_{0}=0.45+0.01 N é o coeficiente de empuxo em repouso.

Passo 1

O enunciado trata de uma sapata circular de raio R, espessura h e peso específico \gamma, submetida a uma carga concentrada Q. No ponto A, sob o centro da sapata e a uma profundidade z, queremos calcular a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} no solo. Usaremos:
– Carga distribuída q da sapata sobre o solo;
– Equação de Boussinesq para \sigma_{z};
– Empuxo lateral \sigma_{h}=K_{0}\,\sigma_{z};
– Relação entre tensões principais e cisalhamento máximo em 3D.

Passo 2

A carga distribuída q aplica-se pela carga concentrada dividida pela área da sapata mais o peso próprio da sapata:
q = \frac{Q}{\pi R^2} + \gamma\,h.

Passo 3

Pela fórmula de Boussinesq, a tensão normal vertical no ponto A é
\sigma_{z} = q\, \Bigl[1 - \frac{1}{\bigl(1 + (R/z)^{2}\bigr)^{3/2}}\Bigr].

Passo 4

O empuxo lateral em repouso gera uma tensão horizontal
\sigma_{h} = K_{0}\,\sigma_{z}.

Passo 5

Em um estado triaxial com \sigma_{1}=\sigma_{z} e \sigma_{3}=\sigma_{h}, a tensão de cisalhamento máxima é
\tau_{\max} = \frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2} = \frac{\sigma_{z}-\sigma_{h}}{2} = \frac{1-K_{0}}{2}\,\sigma_{z}.

Passo 6

Substituindo \sigma_{z} e q, obtemos
\tau_{\max} = \frac{1-K_{0}}{2}\;\biggl[\, q\Bigl(1 - \frac{1}{\bigl(1 + (R/z)^{2}\bigr)^{3/2}}\Bigr)\biggr]
\text{com }q = \frac{Q}{\pi R^{2}} + \gamma\,h.
Agora inserindo os valores paramétricos
R = 2{,}0 + 0{,}1N,\quad \gamma = 25 + 0{,}1N,\quad h = 0{,}5 + 0{,}05N,
Q = 500 + 20N,\quad z = 1{,}5 + 0{,}1N,\quad K_{0} = 0{,}45 + 0{,}01N,
temos a expressão final
\tau_{\max} = \frac{1 - (0{,}45+0{,}01N)}{2} \Bigl[\frac{500+20N}{\pi\,(2{,}0+0{,}1N)^{2}} + (25+0{,}1N)\,(0{,}5+0{,}05N)\Bigr] \Bigl[1 - \frac{1}{\bigl(1 + \bigl(\tfrac{2{,}0+0{,}1N}{1{,}5+0{,}1N}\bigr)^{2}\bigr)^{3/2}}\Bigr].

Resposta

\tau_{\max} = \frac{1 - (0{,}45+0{,}01N)}{2} \Bigl(\frac{500+20N}{\pi\,(2{,}0+0{,}1N)^{2}} + (25+0{,}1N)\,(0{,}5+0{,}05N)\Bigr) \Bigl[1 - \frac{1}{\bigl(1 + \bigl(\frac{2{,}0+0{,}1N}{1{,}5+0{,}1N}\bigr)^{2}\bigr)^{3/2}}\Bigr].

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