Encontre a solução geral para as equações diferenciais em cada um dos problemas abaixo, onde y^prime representa a derivada de y com relação a x.
y y^prime+x=(x^2+y^2)^12

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y,dydx + x = raizx^2 + y^2
O conteúdo que vamos usar é a derivada de
r(x)=raizx^2 + y^2
pois aparece justamente x + y,y'.

Passo 2

Calculemos
r(x)=raizx^2 + y^2Longrightarrow drdx =12raizx^2 + y^2cdotddx(x^2+y^2) =x + y,y'raizx^2 + y^2

Passo 3

A equação original diz
y,y' + x = raizx^2 + y^2,
ou seja
x + y,y'raizx^2 + y^2 = 1
Pelo passo anterior isso é
drdx = 1

Passo 4

Integramos
drdx = 1 Longrightarrow r = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Como r=raizx^2+y^2, temos
raizx^2 + y^2 = x + C
Elevando ao quadrado obtém-se
x^2 + y^2 = (x+C)^2 Longrightarrow y^2 = 2C,x + C^2

Resposta

A solução geral pode ser escrita como
raizx^2 + y^2 = x + C
ou, equivalentemente,
y^2 = 2C,x + C^2,
onde C é a constante de integração.

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