1. Resolva a equação
d yd x=x-y-1x+y+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = x - y - 1x + y + 3
Este é um caso de equação homogênea após um deslocamento conveniente de variáveis. Vamos usar as ideias de mudança de variáveis e de equações homogêneas para chegar à solução geral.

Passo 2

Fazemos a translação
u = x + 1, v = y + 2
Então
x = u - 1, y = v - 2,
e o numerador e denominador passam a ser
x - y - 1 = (u-1) - (v-2) -1 = u - v,
x + y + 3 = (u-1) + (v-2) +3 = u + v
Logo a equação vira
dvdu = u - vu + v

Passo 3

Note que agora
dvdu = u - vu + v
é uma equação homogênea de grau zero, pois o lado direito depende só da razão v/u. Definimos
z = vu,
logo
v = z,uLongrightarrow dvdu = z + udzdu
Substituindo na equação:
z + udzdu = u - z,uu + z,u = 1 - z1 + z

Passo 4

Isolamos o termo com dzdu:
udzdu = 1 - z1 + z - z = 1 - z - z(1+z)1+z = 1 -2z - z^21+z
Reescrevemos o numerador como
1 -2z - z^2 = -l(z^2+2z -1r) = -l[(z+1)^2 -2r] = - (z+1)^2 + 2,
ficando
udzdu = - (z+1) + 2,z+1,

Passo 5

Separamos as variáveis em u e z. Primeiro, note que dz = d(z+1). Chamando t = z+1 e dt = dz, obtemos
udtdu = -t + 2t,
ou
duu = -,t,dtt^2 - 2
Integramos ambos os lados:
integral duu = -integral t,dtt^2 -2
ln!l|ur| = -12ln!l|t^2 -2r| + C1

Passo 6

Exponenciando e rearranjando,
2ln|u| + ln|t^2 -2| = C2 Longrightarrow lnl(u^2(t^2 -2)r) = C2 Longrightarrow u^2,(t^2 -2) = C
Voltando às variáveis originais:
u = x+1, t = z+1 = vu +1 = v+uu,
então
u^2l(t^2-2r) = (v+u)^2 - 2u^2
Como v = y+2 e u = x+1, concluímos a solução implícita:

Resposta

(x+y+3)^2 ;-; 2,(x+1)^2 ;=; C,
onde C é constante arbitrária.

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