Encontre uma solução particular explícita para os problemas de valor inicial
d yd x=2 x y^2+3 x^2 y^2 ; y(1)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = 2x,y^2 + 3x^2,y^2,
com condição inicial y(1)=-1. Como o lado direito é produto de uma função de x por uma função de y, temos uma equação separável.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy^2 = (2x + 3x^2),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy^2 = integral (2x + 3x^2),dx
No lado esquerdo fica
integral y^-2,dy = -1y,
e no direito
integral (2x + 3x^2),dx = x^2 + x^3 + C
Logo
-1y = x^2 + x^3 + C

Passo 4

Para determinar C, usamos y(1)=-1. Substituindo x=1 e y=-1 em
-1y = x^2 + x^3 + C
-1-1 = 1 + 1 + C Longrightarrow 1 = 2 + C Longrightarrow C = -1

Passo 5

Com C=-1, reescrevemos
-1y = x^2 + x^3 - 1 Longrightarrow y(x) = -1,x^2 + x^3 - 1,
que equivale a
y(x) = 1,1 - x^2 - x^3,

Resposta

y(x) = 11 - x^2 - x^3

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