Encontre uma solução particular explícita para os problemas de valor inicial
2 y d yd x=x(x^2-16)^-12 ; y(5)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
2,y,dydx=x,(x^2-16)^-tfrac12, y(5)=2
O conteúdo é EDO de variáveis separáveis: vamos isolar y de um lado e x do outro e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
2,y,dy = xraizx^2-16,dx
Agora integramos em ambos os lados:
integral 2,y,dy = integral xraizx^2-16,dx

Passo 3

No lado esquerdo
integral 2,y,dy = y^2 + C1
No lado direito notamos que
ddxl(raizx^2-16r) = xraizx^2-16,
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integral xraizx^2-16,dx = raizx^2-16 + C2
Reunindo as constantes em C, obtemos
y^2 = raizx^2-16 + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(5)=2. Note que raiz5^2-16=raiz9=3, então
2^2 = 3 + C Longrightarrow 4 = 3 + C Longrightarrow C = 1

Passo 5

Substituindo C=1 em y^2 = raizx^2-16 + C e isolando y, temos
y = pmraizraizx^2-16 + 1
Como y(5)=2>0, escolhemos o sinal positivo.

Resposta

A solução particular é
y(x) = raizraizx^2-16 + 1

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