(3,0) Encontre a solução geral das equações diferenciais ordinárias abaixo:
\left(y \cos (x)+2 x e^{y}\right)+\left(\sin (x)+x^{2} e^{y}-1\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(y\cos(x)+2x e^{y}\bigr)+\bigl(\sin(x)+x^{2}e^{y}-1\bigr)\,y'=0
que está na forma M(x,y)+N(x,y)\,y'=0. Vamos verificar se é exata (isto é, \partial M/\partial y=\partial N/\partial x) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=M e \phi_y=N. A solução geral virá implicitamente de \varphi(x,y)=C.

Passo 2

Identifiquemos
M(x,y)=y\cos(x)+2x e^{y}, \qquad N(x,y)=\sin(x)+x^{2}e^{y}-1.
Calculemos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\cos(x)+2x e^{y}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\cos(x)+2x e^{y}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para obter \varphi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y) =\int\bigl(y\cos(x)+2x e^{y}\bigr)\,dx =y\sin(x)+x^{2}e^{y}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos \varphi em relação a y e igualamos a N:
\phi_{y} =\sin(x)+x^{2}e^{y}+h'(y) \overset{!}{=}\sin(x)+x^{2}e^{y}-1.
Logo
h'(y)=-1 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-y+\text{const}.

Passo 5

Substituindo h(y)=-y (absorvendo a constante em C), obtemos a função potencial
\varphi(x,y) =y\sin(x)+x^{2}e^{y}-y.
Logo a solução geral implícita é
\varphi(x,y)=C,
ou seja
y\sin(x)+x^{2}e^{y}-y=C.

Resposta

A solução geral é
y\sin(x)+x^{2}e^{y}-y=C,
com C constante arbitrária.

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