Encontre a solução geral das equações diferenciais ordinárias abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que está na forma
. Vamos verificar se é exata (isto é,
) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
e
. A solução geral virá implicitamente de
.
Passo 2
Identifiquemos
Calculemos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para obter
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
Passo 5
Substituindo
(absorvendo a constante em
), obtemos a função potencial
Logo a solução geral implícita é
ou seja
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária.