Um sinal modulado em amplitude com portadora suprimida é definido por \mathrm{q}(t)=\left(100 \cos 2 \pi 10^{2} t\right)\left(\cos 2 \pi 10^{6} t\right)(\mathrm{V}).
(a) Determine o espectro de amplitudes do sinal modulado.
(b) Determine a largura de faixa do sinal modulante e do sinal modulado.

Passo 1

O enunciado dá o sinal modulado em amplitude com portadora suprimida
q(t)=\bigl(100\cos\bigl(2\pi\,10^2 t\bigr)\bigr)\,\bigl(\cos\bigl(2\pi\,10^6 t\bigr)\bigr)\quad(\text{V}).
O conteúdo é modulação AM de portadora suprimida. Vamos usar a identidade trigonométrica do produto de cossenos para achar o espectro e então determinar as larguras de faixa.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\cos A\;\cos B=\tfrac12\bigl[\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr]
com A=2\pi\,10^2 t e B=2\pi\,10^6 t. Logo
q(t) =100\;\tfrac12\bigl[\cos\bigl(2\pi(10^6+10^2)t\bigr)+\cos\bigl(2\pi(10^6-10^2)t\bigr)\bigr] =50\bigl[\cos\bigl(2\pi\,(1{,}0001\times10^6)\,t\bigr)+\cos\bigl(2\pi\,(0{,}9999\times10^6)\,t\bigr)\bigr].

Passo 3

Dessa forma, no domínio da frequência q(t) gera duas componentes discretas em
f_1=10^6+10^2\quad\text{Hz}\quad\text{e}\quad f_2=10^6-10^2\quad\text{Hz},
cada uma com amplitude 50 V. Escrevendo o espectro de amplitudes (considerando apenas frequências positivas),
Q(f)=50\,\delta\bigl(f-(10^6+10^2)\bigr)+50\,\delta\bigl(f-(10^6-10^2)\bigr).

Passo 4

A largura de faixa do sinal modulante m(t)=100\cos(2\pi\,10^2 t) é a sua maior frequência, que é
B_m=10^2\text{ Hz}=100\text{ Hz}.
No sinal modulado com portadora suprimida, as componentes vão de f_c-B_m até f_c+B_m, de modo que a largura de faixa total é
B=2B_m=2\times100\text{ Hz}=200\text{ Hz}.

Resposta

(a) O espectro de amplitudes apresenta dois impulsos em f=10^6\pm10^2 Hz, cada um com amplitude 50 V:
Q(f)=50\,\delta\bigl(f-(10^6+10^2)\bigr)+50\,\delta\bigl(f-(10^6-10^2)\bigr).
(b) A largura de faixa do sinal modulante é B_m=100 Hz e a do sinal modulado é B=200 Hz.

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