1. A resolução abaixo está incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite.
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right) & =\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)}-x\right) \\ & =\lim _{x \rightarrow+\infty} x \underbrace{(\sqrt{1+\underbrace{\frac{1}{x}}_{\rightarrow 0}}-1)}_{\rightarrow 0}=\lim _{x \rightarrow+\infty}(x \cdot 0)=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+x}-x\bigr)
e mostra uma tentativa de resolução que conclui 0. Precisamos apontar onde está o erro dessa abordagem e, em seguida, calcular o valor correto do limite. O conteúdo envolvido é manipulação algébrica de expressões com raiz e tratamento de indeterminação do tipo \infty\cdot0.

Passo 2

Na tentativa apresentada, escreveram
\sqrt{x^{2}+x}-x = x\bigl(\sqrt{1+\tfrac1x}-1\bigr)
e em seguida fizeram
\lim_{x\to+\infty}x\cdot0=0.
O erro está em substituir diretamente x por \infty e \sqrt{1+\tfrac1x}-1 por 0, como se o produto \infty\cdot0 fosse igual a 0. Na verdade, isso é uma forma indeterminada, pois x\to\infty e \sqrt{1+\tfrac1x}-1\to0 não garantem que o produto tenda a 0.

Passo 3

Para resolver corretamente, racionalizamos a expressão usando a conjugada:
\sqrt{x^{2}+x}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+x}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+x}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \frac{x^{2}+x - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}.

Passo 4

Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por x (que é positivo para x\to+\infty):
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \frac{x}{x\bigl(\sqrt{1+\tfrac1x}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1x}+1}.

Passo 5

Tomando o limite quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \tfrac12.

Resposta

O erro foi tratar \infty\cdot0 como 0 sem analisar a forma indeterminada. O valor correto do limite é
\tfrac12.

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