Um sinal AM é dado por \mathrm{q}(t)=\left(\cos \omega_{1} t+\cos 3 \omega_{1} t\right)\left(\cos 2 \pi 10^{6} t\right). Sabendo que a largura de faixa do sinal modulado é de 12 kHz , determine o valor da frequência angular \omega_{1} e esboce o espectro de amplitudes \mathrm{Q}(\omega).

Passo 1

O enunciado diz que temos um sinal AM
q(t) = \bigl(\cos\omega_{1}t + \cos3\omega_{1}t\bigr)\,\cos\bigl(2\pi\cdot10^{6}t\bigr)
com largura de faixa de 12 kHz. Aqui o conteúdo é modulação em amplitude: a largura de banda do sinal modulado é o dobro da maior frequência da mensagem.

Passo 2

Seja f_{\max} a maior frequência da mensagem. A largura de faixa total é
B = 2\,f_{\max}\,.
Como B=12 kHz, temos
f_{\max} = \frac{B}{2} = 6\text{ kHz}.

Passo 3

Na mensagem aparecem duas componentes: f_{1}=\omega_{1}/(2\pi) e f_{2}=3f_{1}. A maior delas é f_{2}. Logo
3f_{1} = f_{\max} = 6\text{ kHz} \quad\Longrightarrow\quad f_{1} = 2\text{ kHz}.
Assim
\omega_{1} = 2\pi f_{1} = 2\pi\cdot2\times10^{3} = 4\pi\times10^{3}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Para achar o espectro, usemos a identidade
\cos a\,\cos b = \tfrac12\bigl[\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr].
Aplicando em cada termo:
\cos\omega_{1}t\;\cos\omega_{c}t =\tfrac12\bigl[\cos((\omega_{c}+\omega_{1})t)+\cos((\omega_{c}-\omega_{1})t)\bigr],
\cos3\omega_{1}t\;\cos\omega_{c}t =\tfrac12\bigl[\cos((\omega_{c}+3\omega_{1})t)+\cos((\omega_{c}-3\omega_{1})t)\bigr],
onde \omega_{c}=2\pi\cdot10^{6}.

Passo 5

Portanto o espectro Q(\omega) consiste em quatro pares de impulsos (mais o espelho em negativo) em
\omega = \pm(\omega_{c}\pm\omega_{1}) \quad\text{e}\quad \omega = \pm(\omega_{c}\pm3\omega_{1}),
cada um com amplitude \tfrac12.

Passo 6

Esboço de Q(\omega):
  • No eixo positivo aparecem impulsos em
    \omega_{c}-3\omega_{1},\;\omega_{c}-\omega_{1},\;\omega_{c}+\omega_{1},\;\omega_{c}+3\omega_{1}
    todos de altura 1/2.
  • E o mesmo espelhado em negativo.
Numericamente, com \omega_{1}=4\pi\cdot10^{3}:
\omega_{c}\pm\omega_{1}=2\pi\cdot10^{6}\pm4\pi\cdot10^{3}, \quad \omega_{c}\pm3\omega_{1}=2\pi\cdot10^{6}\pm12\pi\cdot10^{3}.

Resposta

\displaystyle \omega_{1} = 4\pi\times10^{3}\\ \mathrm{rad/s}.
O espectro Q(\omega) tem impulsos de amplitude 1/2 em
\omega = \pm\bigl(2\pi\cdot10^{6}\pm4\pi\cdot10^{3}\bigr) \quad\text{e}\quad \omega = \pm\bigl(2\pi\cdot10^{6}\pm12\pi\cdot10^{3}\bigr).

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