( 3,5 pontos) Determine o volume do sólido abaixo da superfície z=3 x+y^{2} e acima da região R limitada por x=y^{2} e x=y^{3}. Esboce a região R.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o volume do sólido que está abaixo da superfície z=3x+y^{2} e acima da região plana R limitada pelas curvas x=y^{2} e x=y^{3}. Além disso, pede para esboçar a região R.
Informações dadas:
  • A superfície superior é z=3x+y^{2}.
  • A região R é limitada pelas curvas x=y^{2} e x=y^{3}.
  • Não há outros dados numéricos; a região é a área no plano xy entre essas duas curvas.
O que é pedido explicitamente:
  • Calcular o volume do sólido descrito.
  • Esboçar (descrever) a região R.

Passo 2

Entender geometricamente as curvas e onde elas se cruzam — ou seja, achar os pontos de interseção de x=y^{2} e x=y^{3}.
Para encontrar as interseções igualamos as expressões de x:
y^{2}=y^{3}.
Colocando tudo num lado:
y^{2}(1-y)=0.
As soluções são
y=0\quad\text{ou}\quad y=1.
Portanto as curvas se intersectam em y=0 e y=1. Os pontos de interseção no plano xy são (x,y)=(0,0) e (1,1).

Passo 3

Esboço e posição relativa das curvas (descrição para desenhar à mão):
  • A curva x=y^{2} é uma parábola abrindo para a direita (com eixo paralelo ao eixo x), simétrica em relação ao eixo y. Para y entre 0 e 1, x=y^{2} varia de 0 a 1.
  • A curva x=y^{3} é uma cúbica que cresce mais lentamente para 0<y<1; para 0<y<1 tem y^{3}<y^{2}. Para y=0 x=0; para y=1 x=1.
Conclusão sobre a região R: para y entre 0 e 1 a curva x=y^{3} fica à esquerda de x=y^{2}. Assim, a região R é o conjunto de pontos (x,y) com
0\le y\le 1,\qquad y^{3}\le x\le y^{2}.
Esse é um esboço vertical “entre as duas curvas”, fechando em y=0 e y=1. (Para desenhar: marcar as duas curvas e sombrear a faixa entre elas para 0\le y\le1.)

Passo 4

Montar a integral dupla para o volume.
Lembrete prático: o volume abaixo de uma superfície z=f(x,y) e acima de uma região R no plano xy é dado por
\text{Volume}=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=3x+y^{2}. Como a região R é simples no sentido vertical (para cada y\in[0,1] o x varia entre y^{3} e y^{2}), escolhemos a ordem dx\,dy. Assim:
V=\int_{y=0}^{1}\int_{x=y^{3}}^{y^{2}} \bigl(3x+y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Explico por que essa escolha é conveniente: as curvas são dadas como x= função de y, então é direto escrever os limites de x. Se tivesse escolhido a ordem dy\,dx teria que expressar y em função de x, o que dá raízes e complicaria desnecessariamente.

Passo 5

Calcular a integral interna em x:
\int_{x=y^{3}}^{y^{2}} \bigl(3x+y^{2}\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo. Uma primitiva de 3x em x é \tfrac{3}{2}x^{2}. Uma primitiva de y^{2} em x (tratando y como constante nesta integração) é y^{2}x. Logo:
\int \bigl(3x+y^{2}\bigr)\,dx = \tfrac{3}{2}x^{2}+y^{2}x.
Agora avaliamos entre x=y^{3} e x=y^{2}:
\left[\tfrac{3}{2}x^{2}+y^{2}x\right]_{x=y^{3}}^{x=y^{2}} = \left(\tfrac{3}{2}y^{4}+y^{4}\right)-\left(\tfrac{3}{2}y^{6}+y^{5}\right).

Passo 6

Simplificar a expressão obtida:
\tfrac{3}{2}y^{4}+y^{4} = \tfrac{5}{2}y^{4}.
Logo a expressão da integral interna reduz-se a
\tfrac{5}{2}y^{4}-y^{5}-\tfrac{3}{2}y^{6}.
Portanto o volume vira uma integral unidimensional:
V=\int_{0}^{1}\left(\tfrac{5}{2}y^{4}-y^{5}-\tfrac{3}{2}y^{6}\right)\,dy.

Passo 7

Integrar em y termo a termo. Calculemos as integrais básicas:
\int_{0}^{1} y^{4}\,dy=\frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{1} y^{5}\,dy=\frac{1}{6},\qquad \int_{0}^{1} y^{6}\,dy=\frac{1}{7}.
Aplicando aos coeficientes:
V=\tfrac{5}{2}\cdot\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\tfrac{3}{2}\cdot\frac{1}{7}.

Passo 8

Calcular numericamente a expressão:
\tfrac{5}{2}\cdot\frac{1}{5}=\tfrac{1}{2}.
\tfrac{3}{2}\cdot\frac{1}{7}=\tfrac{3}{14}.
Então
V=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{3}{14}.
Colocando em denominador comum 42:
\frac{1}{2}=\frac{21}{42},\qquad \frac{1}{6}=\frac{7}{42},\qquad \frac{3}{14}=\frac{9}{42}.
Portanto
V=\frac{21-7-9}{42}=\frac{5}{42}.

Passo 9

Verificação rápida (sanity check): o valor é positivo e pequeno, coerente com uma superfície linear em x mais um termo y^{2} sobre uma região que tem área menor que 1 (a região R está contida no quadrado [0,1]\times[0,1]), então um valor como \tfrac{5}{42} faz sentido.

Resposta

\dfrac{5}{42}

Exercícios relacionados