( 3,5 pontos) Determine o volume do sólido abaixo da superfície
e acima da região
limitada por
e
. Esboce a região
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima da região plana
limitada pelas curvas
e
. Além disso, pede para esboçar a região
.
Informações dadas:
- A superfície superior é
. - A região
é limitada pelas curvas e . - Não há outros dados numéricos; a região é a área no plano
entre essas duas curvas.
O que é pedido explicitamente:
- Calcular o volume do sólido descrito.
- Esboçar (descrever) a região
.
Passo 2
Entender geometricamente as curvas e onde elas se cruzam — ou seja, achar os pontos de interseção de
e
.
Para encontrar as interseções igualamos as expressões de
:
Colocando tudo num lado:
As soluções são
Portanto as curvas se intersectam em
e
. Os pontos de interseção no plano
são
e
.
Passo 3
Esboço e posição relativa das curvas (descrição para desenhar à mão):
- A curva
é uma parábola abrindo para a direita (com eixo paralelo ao eixo ), simétrica em relação ao eixo . Para entre e , varia de a . - A curva
é uma cúbica que cresce mais lentamente para ; para tem . Para dá ; para dá .
Conclusão sobre a região
: para
entre
e
a curva
fica à esquerda de
. Assim, a região
é o conjunto de pontos
com
Esse é um esboço vertical “entre as duas curvas”, fechando em
e
. (Para desenhar: marcar as duas curvas e sombrear a faixa entre elas para
.)
Passo 4
Montar a integral dupla para o volume.
Lembrete prático: o volume abaixo de uma superfície
e acima de uma região
no plano
é dado por
Aqui
. Como a região
é simples no sentido vertical (para cada
o
varia entre
e
), escolhemos a ordem
. Assim:
Explico por que essa escolha é conveniente: as curvas são dadas como
função de
, então é direto escrever os limites de
. Se tivesse escolhido a ordem
teria que expressar
em função de
, o que dá raízes e complicaria desnecessariamente.
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Integramos termo a termo. Uma primitiva de
em
é
. Uma primitiva de
em
(tratando
como constante nesta integração) é
. Logo:
Agora avaliamos entre
e
:
Passo 6
Simplificar a expressão obtida:
Logo a expressão da integral interna reduz-se a
Portanto o volume vira uma integral unidimensional:
Passo 7
Integrar em
termo a termo. Calculemos as integrais básicas:
Aplicando aos coeficientes:
Passo 8
Calcular numericamente a expressão:
Então
Colocando em denominador comum
:
Portanto
Passo 9
Verificação rápida (sanity check): o valor é positivo e pequeno, coerente com uma superfície linear em
mais um termo
sobre uma região que tem área menor que 1 (a região
está contida no quadrado
), então um valor como
faz sentido.