Encontre a solução geral das equaçōes diferencias abaixo:
y^prime-4x y=-2x^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear
y' - 4x,y = -2x^3
O conteúdo aqui é equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de y como -4/x. O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = expl(integral -tfrac4x,dxr) = exp(-4ln|x|) = x^-4

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^-4, obtendo
x^-4y' - 4x,x^-4y = -2x^3,x^-4 Longrightarrow x^-4y' - 4x^-5y = -2x^-7
O lado esquerdo é exatamente a derivada
ddxl(x^-4yr) = x^-4y' - 4x^-5y

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
ddxl(x^-4yr) = -2x^-7 Longrightarrow x^-4y = integral -2x^-7,dx = -2cdotx^-6-6 + C = 13x^-6 + C

Passo 5

Finalmente, isolamos y:
y = x^4l(13x^-6 + Cr) = 13x^-2 + C,x^4,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = 13x^-2 + C,x^4

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