Resolva os problemas de valor inicial:
ty^prime+2y=t^2-t+1 ; y(1)=0

Passo 1

O enunciado trata de um problema de valor inicial para a equação diferencial ordinária de primeira ordem
t,y' + 2y = t^2 - t + 1, y(1)=0
Aqui o conteúdo é ODE linear de primeiro grau. Para resolver, vamos:
  1. Colocar em forma padrão y' + P(t),y = Q(t).
  2. Encontrar o fator integrante mu(t).
  3. Multiplicar a equação por mu(t) e integrar.
  4. Aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Dividindo tudo por t (assumindo tneq0), ficamos com a forma padrão
y' + 2t,y = t - 1 + 1t
Aqui P(t)=2/t e Q(t)=t - 1 + 1/t.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral P(t),dtr) = exp!l(integral 2t,dtr) = expl(2ln|t|r) = t^2

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(t)=t^2, obtemos
t^2y' + 2t,y = t^2l(t - 1 + 1tr) Longrightarrow ddtl(t^2 yr) = t^3 - t^2 + t
Integrando ambos os lados em relação a t:
t^2 y = integrall(t^3 - t^2 + tr),dt = t^44 - t^33 + t^22 + C
Logo
y(t) = t^24 - t3 + 12 + Ct^2

Passo 5

Impondo a condição inicial y(1)=0:
0 = 1^24 - 13 + 12 + C = 3 - 4 + 612 + C = 512 + C Longrightarrow C = -512

Resposta

boxedy(t) = t^24 - t3 + 12 ;-;512,t^2

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