Sejam a, b, c in R. Mostre que y(t)=e^rt, com r raiz de ar^2+br+c=0 é solução da equação diferencial ay^prime prime+by^prime+cy=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,b,cinR e um número r que satisfaz a equação característica
a r^2 + b r + c = 0,
a função
y(t) = e^r t
é solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
a,y'' + b,y' + c,y = 0
Para isso, vamos calcular as derivadas de y e depois substituir na equação diferencial.

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivadas de y(t). Como y(t)=e^r t, vale
y'(t) = ddte^r t = r,e^r t,
y''(t) = ddtl(r,e^r tr) = r^2,e^r t

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na expressão a,y'' + b,y' + c,y:
a,y'' + b,y' + c,y = al(r^2 e^r tr) ;+; bl(r e^r tr) ;+; cl(e^r tr) = e^r tl(a r^2 + b r + cr)

Passo 4

Como r é raiz da equação característica, temos a r^2 + b r + c = 0. Logo,
e^r tl(a r^2 + b r + cr) = e^r tcdot 0 = 0,
o que mostra que
a,y'' + b,y' + c,y = 0

Resposta

A função y(t)=e^r t, com r raiz de a r^2 + b r + c = 0, satisfaz a equação diferencial dada.

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