Sejam
. Mostre que
, com
raiz de
é solução da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
e um número
que satisfaz a equação característica
a função
é solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Para isso, vamos calcular as derivadas de
e depois substituir na equação diferencial.
Passo 2
Calculamos a primeira e a segunda derivadas de
. Como
, vale
Passo 3
Substituímos
,
e
na expressão
:
Passo 4
Como
é raiz da equação característica, temos
. Logo,
o que mostra que
Resposta
A função
, com
raiz de
, satisfaz a equação diferencial dada.