Encontre a solução geral das equações homogêneas.
(a)
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(b)
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©
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(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver as equações diferenciais homogêneas que você enviou. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral usando a equação característica.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação:
Primeiro, montamos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1:
Agora, resolvemos essa equação quadrática.
Passo 3
Resolvendo
:
Então, as raízes são:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda equação:
Montamos a equação característica:
Resolvemos a equação quadrática.
Passo 5
Resolvendo
:
Aqui, temos uma raiz dupla
. Então, a solução geral é:
Passo 6
Por fim, a terceira equação:
Dividimos todos os termos por 2 para simplificar:
Montamos a equação característica:
Resolvemos a equação quadrática.
Passo 7
Resolvendo
:
As raízes são complexas:
. Então, a solução geral é:
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©