(3,0) Encontre a solução geral das equações homogêneas.
(a) y'' - 3y' + 2y = 0.
(b) y'' - y' + 1/4 y = 0.
© 2 y'' - 2 y' + y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver as equações diferenciais homogêneas que você enviou. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
Primeiro, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1:
Agora, resolvemos essa equação quadrática.

Passo 3

Resolvendo :
Então, as raízes são:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda equação:
Montamos a equação característica:
Resolvemos a equação quadrática.

Passo 5

Resolvendo :
Aqui, temos uma raiz dupla . Então, a solução geral é:

Passo 6

Por fim, a terceira equação:
Dividimos todos os termos por 2 para simplificar:
Montamos a equação característica:
Resolvemos a equação quadrática.

Passo 7

Resolvendo :
As raízes são complexas: . Então, a solução geral é:

Resposta

(a)
(b)
©

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