Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
y' = 4y + x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso entra no conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para o formato padrão das equações lineares: . Nossa equação é . Vamos trazer o para o outro lado:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a para encontrar :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Vamos resolver a integral do lado direito usando a técnica de integração por partes:
Escolhemos e , então e .
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária. Se for dada uma condição inicial, podemos determinar o valor específico de para obter a solução particular.

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