Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso entra no conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para o formato padrão das equações lineares:
. Nossa equação é
. Vamos trazer o
para o outro lado:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
para encontrar
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Vamos resolver a integral do lado direito usando a técnica de integração por partes:
Escolhemos
e
, então
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária. Se for dada uma condição inicial, podemos determinar o valor específico de
para obter a solução particular.