Encontre a solução geral das equações: 4 y^{\prime \prime}+y=2 \operatorname{sec} (t / 2),-\pi<t<\pi
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
4 y'' + y = 2\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{t}{2}\right),\qquad -\pi<t<\pi.
Informações relevantes dadas:
É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea.
O coeficiente do termo y'' é 4 (constante).
O termo não homogêneo (fonte) é 2\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{t}{2}\right).
O intervalo de interesse é -\pi<t<\pi (importante para domínio de \operatorname{sec} e \ln(\cos(t/2))).
Passo 2
Decisão do método e justificativa curta (sem detalhes técnicos pesados): dividir a equação por 4 para obter a forma padrão e resolver a equação homogênea; como o termo não homogêneo é \operatorname{sec}(t/2) (não é polinomial, exponencial nem seno/cosseno simples), o método dos coeficientes indeterminados NÃO é adequado. Usaremos o método de variação de parâmetros, que funciona bem quando se conhece a base de soluções da homogênea. A forma padrão após dividir por 4 é
Aplicar variação de parâmetros. Para a equação na forma
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t),
com p(t)=0, q(t)=\tfrac{1}{4} e g(t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{t}{2}\right), a fórmula para uma particular y_p em termos de y_1,y_2 e do wronskiano W é
Observação sobre domínio: no intervalo -\pi<t<\pi tem-se \big|\tfrac{t}{2}\big|<\tfrac{\pi}{2}, então \cos\!\tfrac{t}{2}>0 e podemos, se preferir, escrever \ln\big|\cos\tfrac{t}{2}\big|=\ln\!\big(\cos\tfrac{t}{2}\big). Mas a forma com valor absoluto é a correta em geral.
Passo 7
Escrever a solução geral somando homogênea e particular: