Encontre a solução geral das equações:
4 y^{\prime \prime}+y=2 \operatorname{sec} (t / 2),-\pi<t<\pi

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
4 y'' + y = 2\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{t}{2}\right),\qquad -\pi<t<\pi.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea.
  • O coeficiente do termo y'' é 4 (constante).
  • O termo não homogêneo (fonte) é 2\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{t}{2}\right).
  • O intervalo de interesse é -\pi<t<\pi (importante para domínio de \operatorname{sec} e \ln(\cos(t/2))).

Passo 2

Decisão do método e justificativa curta (sem detalhes técnicos pesados): dividir a equação por 4 para obter a forma padrão e resolver a equação homogênea; como o termo não homogêneo é \operatorname{sec}(t/2) (não é polinomial, exponencial nem seno/cosseno simples), o método dos coeficientes indeterminados NÃO é adequado. Usaremos o método de variação de parâmetros, que funciona bem quando se conhece a base de soluções da homogênea. A forma padrão após dividir por 4 é
y''+\tfrac{1}{4}y=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{t}{2}\right).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
y''+\tfrac{1}{4}y=0.
A equação característica é r^2+\tfrac{1}{4}=0, cujas raízes são r=\pm \tfrac{i}{2}. Portanto uma base de soluções da homogênea é
y_1(t)=\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right),\qquad y_2(t)=\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right).
Assim a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)+C_2\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Aplicar variação de parâmetros. Para a equação na forma
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t),
com p(t)=0, q(t)=\tfrac{1}{4} e g(t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{t}{2}\right), a fórmula para uma particular y_p em termos de y_1,y_2 e do wronskiano W é
y_p = -y_1\int \frac{y_2\,g}{W}\,dt + y_2\int \frac{y_1\,g}{W}\,dt,
onde o wronskiano é W=y_1y_2'-y_1'y_2.
Calcular W. Derivadas:
y_1'(t)=-\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right),\qquad y_2'(t)=\tfrac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right).
Logo
W(t)=\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\cdot\tfrac{1}{2}\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)-\big(-\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\big)\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right) =\tfrac{1}{2}\big(\cos^2\!\tfrac{t}{2}+\sin^2\!\tfrac{t}{2}\big)=\tfrac{1}{2}.
Portanto W=\tfrac{1}{2} (constante), o que simplifica bastante as integrais.

Passo 5

Calcular as integrais que aparecem na fórmula.
Primeira integral:
\int \frac{y_2\,g}{W}\,dt = \int \frac{\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\cdot \tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{t}{2}\right)}{\tfrac{1}{2}}\,dt = \int \sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\,dt = \int \frac{\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)}{\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)}\,dt = \int \tan\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\,dt.
Para integrar \int \tan\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\,dt, faça a substituição u=\tfrac{t}{2} ( dt=2\,du):
\int \tan\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\,dt = 2\int \tan u\,du = -2\ln\big|\cos u\big| + C = -2\ln\big|\cos\!\tfrac{t}{2}\big| + C.
Segunda integral:
\int \frac{y_1\,g}{W}\,dt = \int \frac{\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\cdot \tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\!\left(\tfrac{t}{2}\right)}{\tfrac{1}{2}}\,dt = \int 1\,dt = t + C.
Constantes de integração podem ser omitidas nas integrais particulares porque serão incorporadas em y_h.

Passo 6

Construir y_p usando a fórmula:
y_p = -y_1\left(-2\ln\big|\cos\!\tfrac{t}{2}\big|\right) + y_2\,(t).
Substituindo y_1 e y_2:
y_p(t)=2\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\ln\big|\cos\!\tfrac{t}{2}\big| + t\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right).
Observação sobre domínio: no intervalo -\pi<t<\pi tem-se \big|\tfrac{t}{2}\big|<\tfrac{\pi}{2}, então \cos\!\tfrac{t}{2}>0 e podemos, se preferir, escrever \ln\big|\cos\tfrac{t}{2}\big|=\ln\!\big(\cos\tfrac{t}{2}\big). Mas a forma com valor absoluto é a correta em geral.

Passo 7

Escrever a solução geral somando homogênea e particular:
y(t)=C_1\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)+C_2\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right) +2\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\ln\big|\cos\!\tfrac{t}{2}\big| +t\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias e -\pi<t<\pi.

Resposta

y(t)=C_1\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)+C_2\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right) +2\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\ln\big|\cos\!\tfrac{t}{2}\big| +t\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)

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