Verifique se as equações dadas são equações de superfícies esféricas. Em caso afirmativo, dê o centro e o raio.
x^2+y^2+z^2-2 x+4 y+15=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
x^2+y^2+z^2-2x+4y+15=0
é de uma superfície esférica. Vamos usar o método de completar quadrados para escrever na forma canônica
(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2,
identificando o centro (x0,y0,z0) e o raio R.

Passo 2

Reescrevemos cada termo quadrático somado ao termo linear correspondente:
x^2-2x = (x-1)^2 -1,
y^2+4y = (y+2)^2 -4,
z^2 = (z-0)^2
Substituindo na equação original:
(x-1)^2 -1 ;+;(y+2)^2 -4 ;+;(z-0)^2 ;+;15 ;=;0

Passo 3

Agrupando as constantes:
-1 -4 +15 = 10,
então a equação fica
(x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 + 10 = 0 Longrightarrow (x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = -10

Passo 4

Na forma canônica temos
(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2 = R^2
comparando, o centro é
C=(x0,y0,z0)=(1,-2,0)
e
R^2 = -10
Como R^2<0, não existe R real.

Resposta

A equação pode ser escrita como
(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=-10,
portanto tem centro (1,-2,0) e R^2=-10. Como o raio não é real, ela não define uma esfera real (é uma “esfera imaginária”).

Exercícios relacionados