(a) Sem resolver, responda: A EDO
d yd x=(1-x^2-y^2)^1 / 2, y(0)=0
admite solução única?
(b) Sem resolver o problema, determine um intervalo no qual a solução de
x y^prime-2 y=x^2+1, y(1)=y0
certamente existe.
(c) Resolva o item (b) para y0=12.

Passo 1

O enunciado tem três partes. No item (a) queremos saber se a EDO
dydx=raiz1 - x^2 - y^2, y(0) = 0
admite solução única, usando o teorema de Picard– Lindel"of (continuidade de f e de partial f / partial y). No item (b) determinamos um intervalo onde a solução de
x, y' - 2 y = x^2 + 1, y(1) = y0
existe, analisando a forma linear padrão e a continuidade dos coeficientes. No item (c) resolvemos explicitamente essa EDO linear para y0 = tfrac12.

Passo 2

Para (a) definimos
f(x,y) = raiz1 - x^2 - y^2
Vemos que f é contínua em qualquer região onde 1 - x^2 - y^2 > 0, e
partial fpartial y = - yraiz1 - x^2 - y^2
é também contínua num pequeno disco centrado em (0,0). Logo, pelo teorema de Picard– Lindel"of, existe e é única uma solução local passando por (0,0).

Passo 3

Para (b) escrevemos a EDO em forma padrão dividindo por x (em xneq0):
y' - 2x,y = x + 1x
Os coeficientes -2/x e x+1/x são contínuos sempre que xneq0. Como a condição inicial está em x=1, podemos garantir existência e unicidade em qualquer intervalo que não contenha x=0, por exemplo (0,infty).

Passo 4

Para (c) calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral -tfrac2x,dxr)=x^-2
Multiplicando a EDO por x^-2 obtém-se
ddxl(x^-2yr)=x^-1+x^-3
Integrando,
x^-2y = integral x^-1dx + integral x^-3dx + C = ln|x| - 12x^2 + C,
portanto
y = x^2ln|x| - 12 + C,x^2

Passo 5

Impondo y(1)=tfrac12 temos
12 = 1^2ln1 - 12 + Ccdot1^2 = -12 + C
logo C=1. Assim a solução é
y(x)= x^2ln|x| + x^2 - 12

Resposta

(a) Sim. Existe e é única solução local, por Picard– Lindel"of.
(b) Em qualquer intervalo que não contenha x = 0, por exemplo (0, infty).
(c) y(x) = x^2 ln|x| + x^2 - tfrac12

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