(a) Sem resolver, responda: A EDO
admite solução única?
(b) Sem resolver o problema, determine um intervalo no qual a solução de
certamente existe.
(c) Resolva o item (b) para
.
(b) Sem resolver o problema, determine um intervalo no qual a solução de
(c) Resolva o item (b) para
Passo 1
O enunciado tem três partes. No item (a) queremos saber se a EDO
admite solução única, usando o teorema de Picard– Lindel"of (continuidade de
e de
). No item (b) determinamos um intervalo onde a solução de
existe, analisando a forma linear padrão e a continuidade dos coeficientes. No item (c) resolvemos explicitamente essa EDO linear para
.
Passo 2
Para (a) definimos
Vemos que
é contínua em qualquer região onde
, e
é também contínua num pequeno disco centrado em
. Logo, pelo teorema de Picard– Lindel"of, existe e é única uma solução local passando por
.
Passo 3
Para (b) escrevemos a EDO em forma padrão dividindo por
(em
):
Os coeficientes
e
são contínuos sempre que
. Como a condição inicial está em
, podemos garantir existência e unicidade em qualquer intervalo que não contenha
, por exemplo
.
Passo 4
Para (c) calculamos o fator integrante
Multiplicando a EDO por
obtém-se
Integrando,
portanto
Passo 5
Impondo
temos
logo
. Assim a solução é
Resposta
(a) Sim. Existe e é única solução local, por Picard– Lindel"of.
(b) Em qualquer intervalo que não contenha , por exemplo
.
(c)
(b) Em qualquer intervalo que não contenha
(c)