Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes.
3. y^{\prime \prime}=6 x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y'' = 6x
e pede a solução geral obtida integrando ambos os lados consecutivamente n vezes. Aqui a ordem da derivada é 2 (segunda derivada), portanto devemos integrar duas vezes para obter y. As informações relevantes:
  • A derivada segunda de y em relação a x é \;y''=6x.
  • Quer-se a solução geral, ou seja, a família de soluções com as constantes de integração.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): integrar a igualdade \;y''=6x uma vez para obter y' e integrar uma segunda vez para obter y. Cada integração introduz uma constante arbitrária de integração. Vou usar a regra do poder para primitivar polinômios e a linearidade da integral.
Recordando a regra do poder:
\text{Se }m\neq-1,\quad \int x^{m}\,dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C,
onde C é uma constante arbitrária. Também vale a linearidade:
\int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
para constantes a,b.

Passo 3

Primeira integração: integrar os dois lados da equação \;y''=6x em relação a x para obter y'.
Escrevendo o integrando como potência: 6x=6x^{1}. Aplicando a regra do poder e a linearidade:
\int 6x\,dx = 6\int x\,dx = 6\cdot\frac{x^{2}}{2}+C_{1}=3x^{2}+C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração resultante da primeira primitiva.
Portanto
y' = 3x^{2}+C_{1}.
Explanação curta: ao integrar, somamos 1 ao expoente (de 1 para 2) e dividimos pelo novo expoente; o fator 6 sai multiplicando.

Passo 4

Segunda integração: integrar a expressão de y' para obter y.
Usando novamente a linearidade e a regra do poder:
y=\int y'\,dx=\int\bigl(3x^{2}+C_{1}\bigr)\,dx = 3\int x^{2}\,dx + \int C_{1}\,dx.
Calcule cada termo:
3\int x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3},
\int C_{1}\,dx = C_{1}x + C_{2},
onde C_{2} é uma nova constante de integração (independente de C_{1}).
Somando:
y = x^{3} + C_{1}x + C_{2}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida: a solução geral contém duas constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}, condizente com o fato de ser uma equação diferencial de segunda ordem. Verificando derivadas:
y' = 3x^{2}+C_{1},\qquad y''=6x,
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação dada.

Resposta

y = x^{3} + C_{1}x + C_{2}

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