Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes.
3.
3.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral obtida integrando ambos os lados consecutivamente
vezes. Aqui a ordem da derivada é 2 (segunda derivada), portanto devemos integrar duas vezes para obter
. As informações relevantes:
- A derivada segunda de
em relação a é . - Quer-se a solução geral, ou seja, a família de soluções com as constantes de integração.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): integrar a igualdade
uma vez para obter
e integrar uma segunda vez para obter
. Cada integração introduz uma constante arbitrária de integração. Vou usar a regra do poder para primitivar polinômios e a linearidade da integral.
Recordando a regra do poder:
onde
é uma constante arbitrária. Também vale a linearidade:
para constantes
.
Passo 3
Primeira integração: integrar os dois lados da equação
em relação a
para obter
.
Escrevendo o integrando como potência:
. Aplicando a regra do poder e a linearidade:
onde
é a constante de integração resultante da primeira primitiva.
Portanto
Explanação curta: ao integrar, somamos 1 ao expoente (de
para
) e dividimos pelo novo expoente; o fator
sai multiplicando.
Passo 4
Segunda integração: integrar a expressão de
para obter
.
Usando novamente a linearidade e a regra do poder:
Calcule cada termo:
onde
é uma nova constante de integração (independente de
).
Somando:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida: a solução geral contém duas constantes arbitrárias
e
, condizente com o fato de ser uma equação diferencial de segunda ordem. Verificando derivadas:
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação dada.