Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes.
4.
4.
Passo 1
O problema fornece a equação diferencial
e pede a solução geral obtida integrando ambos os lados consecutivamente
vezes. Como a ordem da equação é 2 (aparece
), é preciso integrar duas vezes (ou seja,
). As informações relevantes são:
- A segunda derivada de
em relação a é . - Ao integrar uma vez surge uma constante de integração arbitrária; ao integrar de novo surge outra constante. Assim a solução geral terá dois constantes arbitrárias.
Passo 2
Integrar a igualdade uma vez para obter
. Aplicando
nos dois lados:
Aqui usamos duas ideias importantes:
- A integral de uma derivada de ordem menor recupera a derivada de ordem anterior (ou seja,
mais uma constante, que incorporamos explicitamente). - A integral da função exponencial é ela própria:
, porque a derivada de é .
Portanto, depois da primeira integração obtemos
onde
é uma constante arbitrária de integração.
Passo 3
Integrar a igualdade anterior para obter
. Aplicando
nos dois lados:
Usamos a linearidade da integral:
. Então
Sabendo que
e que
, reunimos as constantes numa única segunda constante arbitrária
. Assim
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Explicação sobre o número de constantes: cada vez que integramos aparece uma constante arbitrária porque a primitiva é determinada apenas até uma constante. Como a equação é de segunda ordem, a solução geral tem exatamente duas constantes arbitrárias, correspondentes às condições iniciais independentes que poderiam ser impostas (por exemplo
e
).
Passo 5
Verificação rápida: derivando a solução duas vezes confirmamos que recuperamos a equação original. Começando de
temos
o que coincide com a equação dada.