Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes.
4. y^{\prime \prime}=e^{x}

Passo 1

O problema fornece a equação diferencial
y'' = e^{x}
e pede a solução geral obtida integrando ambos os lados consecutivamente n vezes. Como a ordem da equação é 2 (aparece y''), é preciso integrar duas vezes (ou seja, n=2). As informações relevantes são:
  • A segunda derivada de y em relação a x é \,e^{x}.
  • Ao integrar uma vez surge uma constante de integração arbitrária; ao integrar de novo surge outra constante. Assim a solução geral terá dois constantes arbitrárias.

Passo 2

Integrar a igualdade uma vez para obter y'. Aplicando \int (\cdot)\,dx nos dois lados:
\int y''\,dx = \int e^{x}\,dx.
Aqui usamos duas ideias importantes:
  • A integral de uma derivada de ordem menor recupera a derivada de ordem anterior (ou seja, \int y''\,dx = y' mais uma constante, que incorporamos explicitamente).
  • A integral da função exponencial é ela própria: \int e^{x}\,dx = e^{x} + C, porque a derivada de e^{x} é e^{x}.
Portanto, depois da primeira integração obtemos
y' = e^{x} + C_{1},
onde \,C_{1} é uma constante arbitrária de integração.

Passo 3

Integrar a igualdade anterior para obter y. Aplicando \int (\cdot)\,dx nos dois lados:
\int y'\,dx = \int \bigl(e^{x} + C_{1}\bigr)\,dx.
Usamos a linearidade da integral: \int (f+g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx. Então
y = \int e^{x}\,dx + \int C_{1}\,dx.
Sabendo que \int e^{x}\,dx = e^{x} + \text{constante} e que \int C_{1}\,dx = C_{1}x + \text{constante}, reunimos as constantes numa única segunda constante arbitrária C_{2}. Assim
y = e^{x} + C_{1}x + C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Explicação sobre o número de constantes: cada vez que integramos aparece uma constante arbitrária porque a primitiva é determinada apenas até uma constante. Como a equação é de segunda ordem, a solução geral tem exatamente duas constantes arbitrárias, correspondentes às condições iniciais independentes que poderiam ser impostas (por exemplo y(x_{0}) e y'(x_{0})).

Passo 5

Verificação rápida: derivando a solução duas vezes confirmamos que recuperamos a equação original. Começando de
y = e^{x} + C_{1}x + C_{2},
temos
y' = e^{x} + C_{1}, \qquad y'' = e^{x},
o que coincide com a equação dada.

Resposta

y = e^{x} + C_{1}x + C_{2}

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