Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes.
5. y^{\prime \prime}=\sin (x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y''=\sin(x).
Pede-se encontrar a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes. Como aparece y'', aqui devemos integrar ambos os lados exatamente duas vezes (ou seja, n=2). As informações relevantes são:
  • A segunda derivada de y é \sin(x).
  • Quer-se a solução geral, isto é, a família de todas as funções y(x) que satisfazem a equação (deve conter constantes arbitrárias suficientes).

Passo 2

Estratégia e ideias básicas (sem ainda calcular): para uma equação do tipo y^{(k)}=f(x) a maneira mais direta é integrar os dois lados k vezes. Cada integração indefinida adiciona uma constante de integração. No nosso caso k=2, logo integraremos \sin(x) uma vez para obter y'(x) e depois integraremos novamente para obter y(x). Explicando os conceitos usados:
  • Integração indefinida: a operação inversa da derivada. Se F'(x)=f(x), então \int f(x)\,dx = F(x)+C, onde C é constante arbitrária.
  • Linearidade da integral: \displaystyle\int\big(a\cdot f(x)+b\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int 1\,dx.
  • Cada integração produz uma constante nova e independente; para uma EDO de ordem 2 devemos obter duas constantes arbitrárias na solução geral.

Passo 3

Primeira integração (para obter y'). Integramos ambos os lados da igualdade \,y''=\sin(x)\, com respeito a x:
\int y''\,dx=\int \sin(x)\,dx.
Do lado esquerdo, \int y''\,dx = y' (pois a integral da derivada recupera a função, até constante, mas a constante aparece do lado direito). Do lado direito usamos a primitiva conhecida de \sin(x):
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x)+C_1,
pois \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x. Portanto obtemos a expressão para y':
y' = -\cos(x) + C_1,
onde C_1 é uma constante arbitrária.
Comentário sobre o C_1: esse C_1 aparece porque ao integrar uma derivada encontramos uma primitiva apenas definida “até uma constante”. Ele é uma das constantes da solução geral final. Agora integramos novamente para encontrar y.

Passo 4

Segunda integração (para obter y). Integramos a expressão encontrada para y':
\int y'\,dx = \int \big(-\cos(x) + C_1\big)\,dx.
Aplicando linearidade das integrais, separamos:
\int \big(-\cos(x) + C_1\big)\,dx = -\int \cos(x)\,dx + \int C_1\,dx.
Calculemos cada termo:
  • \displaystyle\int \cos(x)\,dx = \sin(x) porque \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • \displaystyle\int C_1\,dx = C_1 x (integra-se uma constante em relação a x).
    Adicionando outra constante de integração C_2 (pois é uma nova integração indefinida), obtemos:
y = -\sin(x) + C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante arbitrária.

Passo 5

Interpretação das constantes e do resultado: a solução geral tem duas constantes arbitrárias C_1 e C_2, exatamente o número esperado para uma equação de segunda ordem. Essas constantes serão determinadas por condições iniciais ou de contorno, caso sejam fornecidas.
Verificação rápida (cheque): derivando duas vezes a solução obtida deve retornar \sin(x).
Calcule y' a partir de y:
y' = \frac{d}{dx}\big(-\sin(x) + C_1 x + C_2\big) = -\cos(x) + C_1.
Derive novamente:
y'' = \frac{d}{dx}\big(-\cos(x) + C_1\big) = \sin(x),
o que coincide com a equação dada. Portanto a solução está correta.

Passo 6

Observação final e generalização breve: para uma equação \,y^{(n)}=f(x)\, procede-se da mesma forma — integrar n vezes, obtendo n constantes de integração independentes, e a solução geral será a soma de uma primitiva n-vezes de f com um polinômio de grau até n-1 cujos coeficientes são as constantes de integração.

Resposta

y(x) = -\sin(x) + C_1 x + C_2,\qquad C_1,C_2\\ \text{são constantes reais.}ã

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