Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes.
5.
5.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Pede-se encontrar a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes. Como aparece
, aqui devemos integrar ambos os lados exatamente duas vezes (ou seja,
). As informações relevantes são:
- A segunda derivada de
é . - Quer-se a solução geral, isto é, a família de todas as funções
que satisfazem a equação (deve conter constantes arbitrárias suficientes).
Passo 2
Estratégia e ideias básicas (sem ainda calcular): para uma equação do tipo
a maneira mais direta é integrar os dois lados
vezes. Cada integração indefinida adiciona uma constante de integração. No nosso caso
, logo integraremos
uma vez para obter
e depois integraremos novamente para obter
. Explicando os conceitos usados:
- Integração indefinida: a operação inversa da derivada. Se
, então , onde é constante arbitrária. - Linearidade da integral:
. - Cada integração produz uma constante nova e independente; para uma EDO de ordem
devemos obter duas constantes arbitrárias na solução geral.
Passo 3
Primeira integração (para obter
). Integramos ambos os lados da igualdade
com respeito a
:
Do lado esquerdo,
(pois a integral da derivada recupera a função, até constante, mas a constante aparece do lado direito). Do lado direito usamos a primitiva conhecida de
:
pois
. Portanto obtemos a expressão para
:
onde
é uma constante arbitrária.
Comentário sobre o : esse
aparece porque ao integrar uma derivada encontramos uma primitiva apenas definida “até uma constante”. Ele é uma das constantes da solução geral final. Agora integramos novamente para encontrar
.
Comentário sobre o
Passo 4
Segunda integração (para obter
). Integramos a expressão encontrada para
:
Aplicando linearidade das integrais, separamos:
Calculemos cada termo:
-
porque . -
(integra-se uma constante em relação a ).
Adicionando outra constante de integração(pois é uma nova integração indefinida), obtemos:
onde
é outra constante arbitrária.
Passo 5
Interpretação das constantes e do resultado: a solução geral tem duas constantes arbitrárias
e
, exatamente o número esperado para uma equação de segunda ordem. Essas constantes serão determinadas por condições iniciais ou de contorno, caso sejam fornecidas.
Verificação rápida (cheque): derivando duas vezes a solução obtida deve retornar .
Calcule a partir de
:
Verificação rápida (cheque): derivando duas vezes a solução obtida deve retornar
Calcule
Derive novamente:
o que coincide com a equação dada. Portanto a solução está correta.
Passo 6
Observação final e generalização breve: para uma equação
procede-se da mesma forma — integrar
vezes, obtendo
constantes de integração independentes, e a solução geral será a soma de uma primitiva
-vezes de
com um polinômio de grau até
cujos coeficientes são as constantes de integração.