Encontre a solução geral, sabendo que o polinômio característico da EDO é
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes cuja equação característica é
.
Informações dadas (tirei diretamente do enunciado):
Anotações imediatas que valem para a resolução: o polinômio característico está fatorado; cada fator indica raízes (reais ou complexas) e suas multiplicidades. O grau total do polinômio é
, então a solução geral deve envolver 14 constantes arbitrárias.
Passo 2
Identificar as raízes (autovalores) e suas multiplicidades a partir dos fatores:
- Da fator
vem a raiz real com multiplicidade . - Da fator
vem a raiz real com multiplicidade . - Do fator
vamos achar as raízes complexas aplicando a fórmula quadrática: Então há o par de raízes complexas conjugadas , cada uma com multiplicidade (porque o quadrado não aparece aqui). - Do fator
temos dando . O quadrado indica que cada uma das raízes e tem multiplicidade (ou, alternativamente, o par conjugado tem multiplicidade total do fator ao quadrado, o que corresponde a dar ordem ao par).
Passo 3
Regra geral (ensinando o procedimento): para EDO linear com coeficientes constantes, cada raiz real
de multiplicidade
contribui para a solução geral com termos
onde os
são constantes arbitrárias. Intuição curta: se
então as soluções são polinômios de grau <
multiplicados por
.
Exemplo simples para lembrar: se
tem multiplicidade
, a contribuição é
.
Passo 4
Aplicando a regra para as raízes reais:
- Para
(multiplicidade ) a contribuição é com três constantes . - Para
(multiplicidade ) a contribuição é com cinco constantes .
Passo 5
Regra para raízes complexas simples: se
(com
) são raízes simples (multiplicidade
), então as duas soluções reais independentes vindas desse par são
e a contribuição geral é
.
Se o par complexo tem multiplicidade
, cada termo é multiplicado por polinômios em
de grau até
, ou seja:
com
polinômios de grau
.
Passo 6
Aplicando isso aos fatores complexos do polinômio:
- Do par
(multiplicidade cada) vem a contribuição simples com duas constantes . - Do par
temos , , e a multiplicidade do par é (porque ). Assim usamos na regra: aparecem polinômios de grau até multiplicando e . A contribuição tem a forma com quatro constantes .
Passo 7
Contagem final de constantes: da raiz
temos
constantes, da raiz
temos
, do par
temos
, e do par
(com multiplicidade 2) temos
. No total
constantes arbitrárias, compatível com o grau do polinômio característico.
Passo 8
Preparação para escrever a solução geral: juntamos todas as contribuições lineares independentes obtidas nos passos anteriores. Cada bloco é linearmente independente dos outros, então a solução geral é a soma das contribuições correspondentes a cada raiz/par de raízes, com 14 constantes livres.