Encontre a solução geral, sabendo que o polinômio característico da EDO é p(\lambda).
p(\lambda)=(\lambda-1)^{3}(\lambda+2)^{5}\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right)\left(\lambda^{2}+4\right)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes cuja equação característica é p(\lambda).
Informações dadas (tirei diretamente do enunciado):
p(\lambda)=(\lambda-1)^{3}(\lambda+2)^{5}\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right)\left(\lambda^{2}+4\right)^{2}.
Anotações imediatas que valem para a resolução: o polinômio característico está fatorado; cada fator indica raízes (reais ou complexas) e suas multiplicidades. O grau total do polinômio é 3+5+2+4=14, então a solução geral deve envolver 14 constantes arbitrárias.

Passo 2

Identificar as raízes (autovalores) e suas multiplicidades a partir dos fatores:
  • Da fator (\lambda-1)^3 vem a raiz real \lambda=1 com multiplicidade 3.
  • Da fator (\lambda+2)^5 vem a raiz real \lambda=-2 com multiplicidade 5.
  • Do fator \lambda^{2}-2\lambda+2 vamos achar as raízes complexas aplicando a fórmula quadrática: \lambda=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=1\pm i.Então há o par de raízes complexas conjugadas \lambda=1\pm i, cada uma com multiplicidade 1 (porque o quadrado não aparece aqui).
  • Do fator (\lambda^{2}+4)^2 temos \lambda^{2}=-4 dando \lambda=\pm 2i. O quadrado indica que cada uma das raízes \lambda=2i e \lambda=-2i tem multiplicidade 2 (ou, alternativamente, o par conjugado \pm 2i tem multiplicidade total 2 do fator ao quadrado, o que corresponde a dar ordem 2 ao par).

Passo 3

Regra geral (ensinando o procedimento): para EDO linear com coeficientes constantes, cada raiz real \alpha de multiplicidade m contribui para a solução geral com termos
e^{\alpha x}\big(C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \cdots + C_{m-1} x^{m-1}\big),
onde os C_k são constantes arbitrárias. Intuição curta: se (D-\alpha)^m y=0 então as soluções são polinômios de grau < m multiplicados por e^{\alpha x}.
Exemplo simples para lembrar: se \alpha tem multiplicidade 2, a contribuição é e^{\alpha x}(A + Bx).

Passo 4

Aplicando a regra para as raízes reais:
  • Para \lambda=1 (multiplicidade 3) a contribuição é e^{x}\big(A_1 + A_2 x + A_3 x^2\big),com três constantes A_1,A_2,A_3.
  • Para \lambda=-2 (multiplicidade 5) a contribuição é e^{-2x}\big(B_1 + B_2 x + B_3 x^2 + B_4 x^3 + B_5 x^4\big),com cinco constantes B_1,\dots,B_5.

Passo 5

Regra para raízes complexas simples: se \alpha\pm i\beta (com \beta\neq0) são raízes simples (multiplicidade 1), então as duas soluções reais independentes vindas desse par são
e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\text{e}\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x),
e a contribuição geral é e^{\alpha x}(C\cos\beta x + D\sin\beta x).
Se o par complexo tem multiplicidade m>1, cada termo é multiplicado por polinômios em x de grau até m-1, ou seja:
e^{\alpha x}\big[(P_0(x))\cos(\beta x)+(Q_0(x))\sin(\beta x)\big],
com P_0,Q_0 polinômios de grau \le m-1.

Passo 6

Aplicando isso aos fatores complexos do polinômio:
  • Do par \lambda=1\pm i (multiplicidade 1 cada) vem a contribuição simples e^{x}\big(C_1\cos x + C_2\sin x\big),com duas constantes C_1,C_2.
  • Do par \lambda=\pm 2i temos \alpha=0, \beta=2, e a multiplicidade do par é 2 (porque (\lambda^2+4)^2). Assim usamos m=2 na regra: aparecem polinômios de grau até 1 multiplicando \cos 2x e \sin 2x. A contribuição tem a forma \big((D_1 + D_2 x)\cos 2x + (D_3 + D_4 x)\sin 2x\big),com quatro constantes D_1,\dots,D_4.

Passo 7

Contagem final de constantes: da raiz \lambda=1 temos 3 constantes, da raiz \lambda=-2 temos 5, do par 1\pm i temos 2, e do par \pm2i (com multiplicidade 2) temos 4. No total 3+5+2+4=14 constantes arbitrárias, compatível com o grau do polinômio característico.

Passo 8

Preparação para escrever a solução geral: juntamos todas as contribuições lineares independentes obtidas nos passos anteriores. Cada bloco é linearmente independente dos outros, então a solução geral é a soma das contribuições correspondentes a cada raiz/par de raízes, com 14 constantes livres.

Resposta

y(x)=e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\big)+e^{-2x}\big(C_{4}+C_{5}x+C_{6}x^{2}+C_{7}x^{3}+C_{8}x^{4}\big)+e^{x}\big(C_{9}\cos x+C_{10}\sin x\big)+\big((C_{11}+C_{12}x)\cos 2x+(C_{13}+C_{14}x)\sin 2x\big)

Exercícios relacionados