Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=5 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y''-6y'+9y=5e^{3x}.
Informações dadas que vamos usar:
  • É uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é 5e^{3x}.
  • O objetivo implícito é encontrar a solução geral y(x) (ou seja, solução geral da homogênea mais uma solução particular).

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
y''-6y'+9y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-6r+9=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Observe que
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2},
logo temos raiz r=3 de multiplicidade 2.
Quando a raiz r da equação característica tem multiplicidade m, as soluções independentes associadas são e^{rx},\, x e^{rx},\, x^{2} e^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx}. Aqui m=2, portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Vou explicar a ideia do método das constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) de forma didática:
  • Quando o membro direito for um produto de funções da família exponenciais, polinomiais, sen/cos ou combinações simples, escolhemos um palpite (ansatz) para y_{p} com a mesma “forma” multiplicada por um polinômio com coeficientes indeterminados.
  • Se o termo for e^{\alpha x} e \alpha não for raiz da característica, o palpite é y_{p}=A e^{\alpha x} (com A constante ou polinômio conforme o caso).
  • Se \alpha for raiz da característica de multiplicidade s, existe ressonância: devemos multiplicar o palpite por x^{s} para obter um palpite independente da solução homogênea. Em geral, se RHS = P(x)e^{\alpha x} com P polinômio de grau n, e \alpha é raiz de multiplicidade s, o palpite é x^{s}Q(x)e^{\alpha x} onde Q é polinômio de grau n com coeficientes indeterminados.
No nosso caso o membro direito é 5e^{3x}. Aqui \alpha=3 e o polinômio P(x) tem grau 0 (constante 5). Já vimos que r=3 é raiz da característica com multiplicidade s=2. Portanto temos ressonância de ordem 2 e o palpite deve ser multiplicado por x^{2}. Assim escolhemos o palpite mais simples compatível:
y_{p}(x)=A x^{2} e^{3x},
onde A é a constante indeterminada que vamos determinar. (Explicação: o polinômio Q(x) tem grau 0 porque P tem grau 0.)

Passo 4

Agora vamos calcular y_{p}' e y_{p}'' passo a passo, mostrando todas as contas.
Começando com
y_{p}=A x^{2} e^{3x}.
Aplicamos a regra do produto e a derivada de e^{3x}. Primeiro derivada:
y_{p}'=\frac{d}{dx}\big(A x^{2}\big)\,e^{3x}+A x^{2}\,\frac{d}{dx}\big(e^{3x}\big).
Calculando as derivadas:
\frac{d}{dx}\big(A x^{2}\big)=2A x,\qquad \frac{d}{dx}\big(e^{3x}\big)=3e^{3x}.
Substituindo:
y_{p}'=(2A x)e^{3x}+A x^{2}\cdot 3e^{3x}=A e^{3x}\big(2x+3x^{2}\big).
Agora a segunda derivada. Novamente produto de A e^{3x} por (2x+3x^{2}):
y_{p}''=\frac{d}{dx}\big(A e^{3x}\big)\big(2x+3x^{2}\big)+A e^{3x}\frac{d}{dx}\big(2x+3x^{2}\big).
Como \frac{d}{dx}\big(A e^{3x}\big)=3A e^{3x} e \frac{d}{dx}\big(2x+3x^{2}\big)=2+6x, temos
y_{p}''=3A e^{3x}\big(2x+3x^{2}\big)+A e^{3x}\big(2+6x\big).
Juntando termos em comum A e^{3x}:
y_{p}''=A e^{3x}\big(3(2x+3x^{2})+2+6x\big)=A e^{3x}\big(6x+9x^{2}+2+6x\big).
Somando os termos semelhantes:
y_{p}''=A e^{3x}\big(2+12x+9x^{2}\big).

Passo 5

Substituímos y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação diferencial y''-6y'+9y e igualamos ao lado direito 5e^{3x}.
Compute o operador sobre y_{p}:
\begin{aligned} y_{p}''-6y_{p}'+9y_{p} &=A e^{3x}\big(2+12x+9x^{2}\big)-6\big[A e^{3x}\big(2x+3x^{2}\big)\big]+9\big[A x^{2} e^{3x}\big]. \end{aligned}
Colocando A e^{3x} em evidência:
y_{p}''-6y_{p}'+9y_{p}=A e^{3x}\big(2+12x+9x^{2}-12x-18x^{2}+9x^{2}\big).
Agora simplificamos os coeficientes de cada potência de x:
  • Termo em x^{2}: 9-18+9=0.
  • Termo em x: 12x-12x=0.
  • Termo constante: 2.
Portanto sobra
y_{p}''-6y_{p}'+9y_{p}=A e^{3x}\cdot 2 = 2A e^{3x}.
Esse resultado deve igualar o membro direito 5e^{3x}. Assim
2A e^{3x}=5e^{3x}\quad\Rightarrow\quad 2A=5.
Logo
A=\frac{5}{2}.

Passo 6

Agora que temos A=\dfrac{5}{2}, a solução particular é
y_{p}(x)=\frac{5}{2}x^{2}e^{3x}.
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x}+\frac{5}{2}x^{2}e^{3x}.
Opcionalmente podemos fatorar e^{3x}:
y(x)=e^{3x}\left(C_{1}+C_{2}x+\frac{5}{2}x^{2}\right).

Resposta

y(x)=e^{3x}\left(C_{1}+C_{2}x+\frac{5}{2}x^{2}\right)

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