Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
Informações dadas que vamos usar:
- É uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (lado direito) é
. - O objetivo implícito é encontrar a solução geral
(ou seja, solução geral da homogênea mais uma solução particular).
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada. A homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática. Observe que
logo temos raiz
de multiplicidade
.
Quando a raiz
da equação característica tem multiplicidade
, as soluções independentes associadas são
. Aqui
, portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Vou explicar a ideia do método das constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) de forma didática:
- Quando o membro direito for um produto de funções da família exponenciais, polinomiais, sen/cos ou combinações simples, escolhemos um palpite (ansatz) para
com a mesma “forma” multiplicada por um polinômio com coeficientes indeterminados. - Se o termo for
e não for raiz da característica, o palpite é (com constante ou polinômio conforme o caso). - Se
for raiz da característica de multiplicidade , existe ressonância: devemos multiplicar o palpite por para obter um palpite independente da solução homogênea. Em geral, se RHS = com polinômio de grau , e é raiz de multiplicidade , o palpite é onde é polinômio de grau com coeficientes indeterminados.
No nosso caso o membro direito é
. Aqui
e o polinômio
tem grau
(constante
). Já vimos que
é raiz da característica com multiplicidade
. Portanto temos ressonância de ordem
e o palpite deve ser multiplicado por
. Assim escolhemos o palpite mais simples compatível:
onde
é a constante indeterminada que vamos determinar. (Explicação: o polinômio
tem grau
porque
tem grau
.)
Passo 4
Agora vamos calcular
e
passo a passo, mostrando todas as contas.
Começando com
Aplicamos a regra do produto e a derivada de
. Primeiro derivada:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Agora a segunda derivada. Novamente produto de
por
:
Como
e
, temos
Juntando termos em comum
:
Somando os termos semelhantes:
Passo 5
Substituímos
na equação diferencial
e igualamos ao lado direito
.
Compute o operador sobre
:
Colocando
em evidência:
Agora simplificamos os coeficientes de cada potência de
:
- Termo em
: . - Termo em
: . - Termo constante:
.
Portanto sobra
Esse resultado deve igualar o membro direito
. Assim
Logo
Passo 6
Agora que temos
, a solução particular é
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Opcionalmente podemos fatorar
: