Encontre a solução geral, sabendo que o polinômio característico da EDO é p(\lambda).
p(\lambda)=(\lambda-1)^{5}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a solução geral, sabendo que o polinômio característico da EDO é p(\lambda)=(\lambda-1)^{5}.”
Informações dadas e o que é pedido:
  • O polinômio característico é p(\lambda)=(\lambda-1)^{5}.
  • Isso indica que a raiz característica é \lambda=1 com multiplicidade 5.
  • A tarefa é encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea associada a esse polinômio característico.

Passo 2

Conexão entre polinômio característico e operador diferencial: se p(\lambda) é o polinômio característico, a equação diferencial homogênea correspondente pode ser escrita como
p(D)y=0,
onde D denota o operador derivada D=\dfrac{d}{dx}. No nosso caso,
p(D)=(D-1)^{5},
ou seja, a equação a resolver é
(D-1)^{5}y=0.
Aqui (D-1) significa “aplicar a derivada e subtrair 1 vez a função” (formalmente (D-1)y = y'-y).

Passo 3

Truque padrão e por que funciona: use a substituição
y(x)=e^{x}u(x).
Vou mostrar rapidamente por que isso simplifica: calcule (D-1) aplicado a e^{x}u(x). Temos
D(e^{x}u)=e^{x}u + e^{x}u' = e^{x}(u+u'),
portanto
(D-1)(e^{x}u)=e^{x}(u+u')-e^{x}u=e^{x}u'.
Isso mostra que (D-1) atua sobre e^{x}u como multiplicar por e^{x} e diferenciar u. Aplicando isso cinco vezes,
(D-1)^{5}(e^{x}u)=e^{x}u^{(5)}.
Essa propriedade geral vale: (D-a)^{m}(e^{ax}u)=e^{ax}u^{(m)}.

Passo 4

Aplicando o resultado ao nosso problema: como (D-1)^{5}y=0 e y=e^{x}u, obtemos
e^{x}u^{(5)}=0.
Como e^{x} nunca é zero, isso reduz a
u^{(5)}=0.
Uma função cuja quinta derivada é zero é um polinômio de grau no máximo 4. Logo
u(x)=C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^{2}+C_{3}x^{3}+C_{4}x^{4},
onde C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Voltando à variável original y: substituindo u(x) em y=e^{x}u(x) obtemos a solução geral
y(x)=e^{x}\bigl(C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^{2}+C_{3}x^{3}+C_{4}x^{4}\bigr).
Uma forma equivalente e muito usada para destacar a base de soluções é escrever como combinação linear das funções
e^{x},\quad x e^{x},\quad x^{2}e^{x},\quad x^{3}e^{x},\quad x^{4}e^{x},
ou seja,
y(x)=C_{0}e^{x}+C_{1}x e^{x}+C_{2}x^{2}e^{x}+C_{3}x^{3}e^{x}+C_{4}x^{4}e^{x}.
Cada termo corresponde a um autovalor \lambda=1 com potências de x até x^{4} por causa da multiplicidade 5.

Passo 6

Comentário prático para a prova (dica rápida): ao ver uma raiz \lambda=r de multiplicidade m, já anote as soluções
e^{rx},\; x e^{rx},\; x^{2}e^{rx},\;\dots,\; x^{m-1}e^{rx}.
Aqui r=1 e m=5, então as cinco soluções indicadas acima formam uma base da solução geral.

Resposta

y(x)=e^{x}\bigl(C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^{2}+C_{3}x^{3}+C_{4}x^{4}\bigr)

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