Encontre a solução geral, sabendo que o polinômio característico da EDO é
.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a solução geral, sabendo que o polinômio característico da EDO é
.”
Informações dadas e o que é pedido:
- O polinômio característico é
. - Isso indica que a raiz característica é
com multiplicidade . - A tarefa é encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea associada a esse polinômio característico.
Passo 2
Conexão entre polinômio característico e operador diferencial: se
é o polinômio característico, a equação diferencial homogênea correspondente pode ser escrita como
onde
denota o operador derivada
. No nosso caso,
ou seja, a equação a resolver é
Aqui
significa “aplicar a derivada e subtrair 1 vez a função” (formalmente
).
Passo 3
Truque padrão e por que funciona: use a substituição
Vou mostrar rapidamente por que isso simplifica: calcule
aplicado a
. Temos
portanto
Isso mostra que
atua sobre
como multiplicar por
e diferenciar
. Aplicando isso cinco vezes,
Essa propriedade geral vale:
.
Passo 4
Aplicando o resultado ao nosso problema: como
e
, obtemos
Como
nunca é zero, isso reduz a
Uma função cuja quinta derivada é zero é um polinômio de grau no máximo
. Logo
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Voltando à variável original
: substituindo
em
obtemos a solução geral
Uma forma equivalente e muito usada para destacar a base de soluções é escrever como combinação linear das funções
ou seja,
Cada termo corresponde a um autovalor
com potências de
até
por causa da multiplicidade
.
Passo 6
Comentário prático para a prova (dica rápida): ao ver uma raiz
de multiplicidade
, já anote as soluções
Aqui
e
, então as cinco soluções indicadas acima formam uma base da solução geral.