Encontre a solução geral, sabendo que o polinômio característico da EDO é
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (homogênea de coeficientes constantes) cuja informação dada é o polinômio característico. As informações relevantes fornecidas são:
Ou seja, o polinômio característico está totalmente fatorado e é de grau
. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Primeiro conceito importante (passo-a-passo do que usamos): se procuramos soluções do tipo
para uma equação linear homogênea de coeficientes constantes, ao substituir essa forma na equação diferencial obtemos um fator comum
multiplicando um polinômio em
. Esse polinômio é o chamado polinômio característico
. Em símbolos:
Como
para todo
, a condição para que
seja solução é
Ou seja, as raízes
de
fornecem expoentes para soluções do tipo
.
Passo 3
Segundo conceito importante (multiplicidade de raiz): se
é uma raiz simples de
(multiplicidade
), então a solução associada é apenas
. Se
é raiz de multiplicidade
, então além de
aparecem também as soluções
. Intuição curta: derivadas em relação a
trazem fatores de
(pois
), e essas funções resolvem a equação quando as derivadas de
em
também anulam até certa ordem — mas não é preciso decorar a prova desse argumento inteiro; basta saber a regra de multiplicidade.
Passo 4
Agora pegamos o polinômio dado e lemos as raízes diretamente dos fatores (dados pela própria fatoração fornecida). Das fatores
vemos que as raízes são, respectivamente,
Cada uma aparece uma única vez nos fatores, logo todas são raízes simples (multiplicidade
). Eu tirei esses valores diretamente da fatoração do enunciado.
Passo 5
Aplicando a regra das raízes simples: para cada raiz simples
a solução correspondente é
. Como temos quatro raízes simples distintas, a solução geral da equação diferencial (espaço das soluções da homogênea) é combinação linear de quatro exponenciais independentes:
onde
são constantes arbitrárias (constantes de integração) reais (ou complexas, dependendo do contexto), que se determinam por condições iniciais se houver.
Passo 6
Comentário didático rápido para a prova: se numa questão futura aparecer uma raiz repetida, por exemplo
no polinômio característico, aí a solução correspondente incluiria
e
. Exemplo concreto rápido: se
, então
Isso ajuda muito na hora da prova: primeiro fatorar
, aí checar multiplicidades e montar a combinação linear com potências de
quando necessário.
Passo 7
Garantia de independência linear (útil saber na prova): exponenciais
com expoentes
distintos são linearmente independentes, então os quatro termos acima formam base do espaço de soluções da equação de quarta ordem. Assim a expressão dada em Passo 5 realmente representa todas as soluções.