Encontre a solução geral, sabendo que o polinômio característico da EDO é p(\lambda).
p(\lambda)=(\lambda-4)(\lambda-3)(\lambda+2)(\lambda+5)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (homogênea de coeficientes constantes) cuja informação dada é o polinômio característico. As informações relevantes fornecidas são:
p(\lambda)=(\lambda-4)(\lambda-3)(\lambda+2)(\lambda+5).
Ou seja, o polinômio característico está totalmente fatorado e é de grau 4. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Primeiro conceito importante (passo-a-passo do que usamos): se procuramos soluções do tipo \,y(x)=e^{\lambda x}\, para uma equação linear homogênea de coeficientes constantes, ao substituir essa forma na equação diferencial obtemos um fator comum e^{\lambda x} multiplicando um polinômio em \lambda. Esse polinômio é o chamado polinômio característico p(\lambda). Em símbolos:
L[y]=0\quad\text{e supondo}\quad y(x)=e^{\lambda x}\quad\Rightarrow\quad L[e^{\lambda x}]=p(\lambda)\,e^{\lambda x}.
Como e^{\lambda x}\neq0 para todo x, a condição para que e^{\lambda x} seja solução é
p(\lambda)=0.
Ou seja, as raízes \lambda de p fornecem expoentes para soluções do tipo e^{\lambda x}.

Passo 3

Segundo conceito importante (multiplicidade de raiz): se \lambda_0 é uma raiz simples de p(\lambda) (multiplicidade 1), então a solução associada é apenas e^{\lambda_0 x}. Se \lambda_0 é raiz de multiplicidade m>1, então além de e^{\lambda_0 x} aparecem também as soluções x e^{\lambda_0 x}, x^2 e^{\lambda_0 x},\dots,x^{m-1}e^{\lambda_0 x}. Intuição curta: derivadas em relação a \lambda trazem fatores de x (pois \partial_\lambda e^{\lambda x}=x e^{\lambda x}), e essas funções resolvem a equação quando as derivadas de p em \lambda_0 também anulam até certa ordem — mas não é preciso decorar a prova desse argumento inteiro; basta saber a regra de multiplicidade.

Passo 4

Agora pegamos o polinômio dado e lemos as raízes diretamente dos fatores (dados pela própria fatoração fornecida). Das fatores
(\lambda-4),\;(\lambda-3),\;(\lambda+2),\;(\lambda+5)
vemos que as raízes são, respectivamente,
\lambda=4,\quad \lambda=3,\quad \lambda=-2,\quad \lambda=-5.
Cada uma aparece uma única vez nos fatores, logo todas são raízes simples (multiplicidade 1). Eu tirei esses valores diretamente da fatoração do enunciado.

Passo 5

Aplicando a regra das raízes simples: para cada raiz simples \lambda_i a solução correspondente é e^{\lambda_i x}. Como temos quatro raízes simples distintas, a solução geral da equação diferencial (espaço das soluções da homogênea) é combinação linear de quatro exponenciais independentes:
y(x)=C_1 e^{4x}+C_2 e^{3x}+C_3 e^{-2x}+C_4 e^{-5x},
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias (constantes de integração) reais (ou complexas, dependendo do contexto), que se determinam por condições iniciais se houver.

Passo 6

Comentário didático rápido para a prova: se numa questão futura aparecer uma raiz repetida, por exemplo (\lambda-2)^2 no polinômio característico, aí a solução correspondente incluiria e^{2x} e x e^{2x}. Exemplo concreto rápido: se p(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+1), então
y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 x e^{2x}+C_3 e^{-x}.
Isso ajuda muito na hora da prova: primeiro fatorar p(\lambda), aí checar multiplicidades e montar a combinação linear com potências de x quando necessário.

Passo 7

Garantia de independência linear (útil saber na prova): exponenciais e^{\alpha x} com expoentes \alpha distintos são linearmente independentes, então os quatro termos acima formam base do espaço de soluções da equação de quarta ordem. Assim a expressão dada em Passo 5 realmente representa todas as soluções.

Resposta

y(x)=C_1 e^{4x}+C_2 e^{3x}+C_3 e^{-2x}+C_4 e^{-5x}

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