Encontre a solução geral, sabendo que o polinômio característico da EDO é p(\lambda).
p(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2)^{3}\left(\lambda^{2}-2 \lambda+5\right)

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico
p(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2)^{3}\left(\lambda^{2}-2\lambda+5\right)
e pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes associada a esse polinômio.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há uma raiz \lambda=1 de multiplicidade 2.
  • Há uma raiz \lambda=-2 de multiplicidade 3.
  • Há um fator quadrático \lambda^{2}-2\lambda+5 (possivelmente com raízes complexas).
  • Queremos a solução geral (combinação linear das soluções fundamentais), com constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos revisar a regra que usamos para construir a solução geral (aula rápida e prática, sem pressa).
Regra para raízes reais repetidas: se \lambda=r é raiz do polinômio característico com multiplicidade m, então do lado das soluções da EDO obtemos m soluções linearmente independentes
e^{rt},\; t e^{rt},\; t^{2}e^{rt},\; \dots,\; t^{m-1}e^{rt}.
Explicação simples: cada multiplicidade adicional “puxa” uma potência de t multiplicando a exponencial, garantindo independência linear entre as soluções.

Passo 3

Regra para raízes complexas: se o polinômio tem uma raiz complexa \alpha+i\beta (com \beta\neq0), então também tem \alpha-i\beta. Essas duas raízes geram, em termos reais, duas soluções independentes
e^{\alpha t}\cos(\beta t)\quad\text{e}\quad e^{\alpha t}\sin(\beta t).
Se a conjugada complexa tiver multiplicidade maior que 1, multiplicamos também por potências de t (como no caso real repetido). Aqui vamos aplicar a forma básica porque o fator quadrático aparece só uma vez.

Passo 4

Agora calculamos as raízes do fator quadrático explicitamente (aqui é só um cálculo com a fórmula de Bhaskara):
O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 1\cdot 5 = 4-20 = -16.
Portanto as raízes são
\lambda = \frac{2\pm\sqrt{-16}}{2} = \frac{2\pm 4i}{2} = 1\pm 2i.
Logo temos o par complexo conjugado \alpha\pm i\beta com \alpha=1 e \beta=2.

Passo 5

Aplicando as regras de cada tipo de raiz, obtemos as soluções fundamentais:
  • Para \lambda=1 (multiplicidade 2): as soluções são
e^{t}\quad\text{e}\quad t\,e^{t}.
  • Para \lambda=-2 (multiplicidade 3): as soluções são
e^{-2t},\quad t\,e^{-2t},\quad t^{2}e^{-2t}.
  • Para as raízes complexas 1\pm 2i: as duas soluções reais correspondentes são
e^{t}\cos(2t)\quad\text{e}\quad e^{t}\sin(2t).
Cada uma dessas funções é solução da EDO e todas juntas formam um conjunto de soluções linearmente independentes.

Passo 6

Agora montamos a solução geral como combinação linear dessas soluções fundamentais. Como o grau de p(\lambda) é 2+3+2=7, esperamos sete constantes arbitrárias na solução geral — e de fato teremos sete constantes C_{1},\dots,C_{7}.
A solução geral é, portanto:
y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t e^{t}+C_{3}e^{-2t}+C_{4}t e^{-2t}+C_{5}t^{2}e^{-2t}+C_{6}e^{t}\cos(2t)+C_{7}e^{t}\sin(2t),
com C_{1},\dots,C_{7} constantes arbitrárias reais.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t e^{t}+C_{3}e^{-2t}+C_{4}t e^{-2t}+C_{5}t^{2}e^{-2t}+C_{6}e^{t}\cos(2t)+C_{7}e^{t}\sin(2t)

Exercícios relacionados