Encontre a solução geral, sabendo que o polinômio característico da EDO é
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio característico
e pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes associada a esse polinômio.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Há uma raiz
de multiplicidade . - Há uma raiz
de multiplicidade . - Há um fator quadrático
(possivelmente com raízes complexas). - Queremos a solução geral (combinação linear das soluções fundamentais), com constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos revisar a regra que usamos para construir a solução geral (aula rápida e prática, sem pressa).
Regra para raízes reais repetidas: se
é raiz do polinômio característico com multiplicidade
, então do lado das soluções da EDO obtemos
soluções linearmente independentes
Explicação simples: cada multiplicidade adicional “puxa” uma potência de
multiplicando a exponencial, garantindo independência linear entre as soluções.
Passo 3
Regra para raízes complexas: se o polinômio tem uma raiz complexa
(com
), então também tem
. Essas duas raízes geram, em termos reais, duas soluções independentes
Se a conjugada complexa tiver multiplicidade maior que 1, multiplicamos também por potências de
(como no caso real repetido). Aqui vamos aplicar a forma básica porque o fator quadrático aparece só uma vez.
Passo 4
Agora calculamos as raízes do fator quadrático explicitamente (aqui é só um cálculo com a fórmula de Bhaskara):
O discriminante é
Portanto as raízes são
Logo temos o par complexo conjugado
com
e
.
Passo 5
Aplicando as regras de cada tipo de raiz, obtemos as soluções fundamentais:
- Para
(multiplicidade ): as soluções são
- Para
(multiplicidade ): as soluções são
- Para as raízes complexas
: as duas soluções reais correspondentes são
Cada uma dessas funções é solução da EDO e todas juntas formam um conjunto de soluções linearmente independentes.
Passo 6
Agora montamos a solução geral como combinação linear dessas soluções fundamentais. Como o grau de
é
, esperamos sete constantes arbitrárias na solução geral — e de fato teremos sete constantes
.
A solução geral é, portanto:
com
constantes arbitrárias reais.