Esboce o traço da curva gamma: R R^3 quando:
gamma(t)=(t, sin (t), cos (t))

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o traço da curva definida por gamma(t) = (t, sin(t), cos(t)). Isso está relacionado ao estudo de curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função gamma(t) se comporta conforme t varia.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da curva:
  • Componente x(t) = t: Aqui, x aumenta linearmente com t. Ou seja, conforme t cresce, o valor de x também cresce de maneira constante.
  • Componente y(t) = sin(t): Esse é um função seno, que oscila entre -1 e 1 de forma periódica.
  • Componente z(t) = cos(t): Similarmente, essa é uma função cosseno, também oscilando entre -1 e 1 periodicamente.

Passo 3

Agora, vamos imaginar como essas componentes se combinam no espaço 3D. Como x está aumentando constantemente, enquanto y e z estão oscilando, a curva vai se deslocando ao longo do eixo x enquanto faz movimentos circulares no plano yz.

Passo 4

Esses movimentos circulares no plano yz combinados com o avanço linear no eixo x resultam em uma hélice. Uma hélice é uma curva que lembra uma mola ou a rampa de um tornelo, que dá a impressão de se enrolar ao redor de um cilindro enquanto avança.

Passo 5

Para visualizar, imagine que estamos desenhando um círculo no plano yz para cada valor de t, mas ao mesmo tempo, estamos movendo esse círculo para frente no eixo x. Isso cria uma espiral que sobe indefinidamente na direção positiva de x.

Resposta

O traço da curva gamma(t) = (t, sin(t), cos(t)) é uma hélice circular que se enrola em torno do eixo x, avançando continuamente conforme t aumenta.

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