Encontre a solução geral da seguinte equação:
y^prime prime+4 y^prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 4y' + 5y = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(x)=e^r x. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica:
r^2 + 4r + 5 = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver
r^2 + 4r + 5 = 0:
r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot52 = -4 pm raiz16 - 202 = -4 pm raiz-42 = -2 pm i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas alpha pm ibeta com alpha=-2 e beta=1, a forma geral da solução é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r) = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr),
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr)

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