ExERCÍcio 4. Determine a equação da reta tangente ao traço da curva gamma: R R^2 no ponto t0 nos seguintes casos:
gamma(t)=(e^t sin (t), e^t cos (t)) e t0=pi / 4;

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
gammacolonRtoR^2 com
gamma(t)=l(e^tsin t,;e^tcos tr)
e pede a reta tangente ao traço dessa curva no ponto correspondente a t0=pi/4.
Conteúdo: curva parametrizada e derivada para obter o vetor tangente.

Passo 2

Para encontrar a reta tangente, primeiro calculamos a derivada gamma'(t) coordenada a coordenada.
gamma'(t) =l((e^tsin t)',,,(e^tcos t)'r) =l(e^t(sin t+cos t),;e^t(cos t-sin t)r)

Passo 3

Agora avaliamos em t0=pi/4. Sabendo que sin(pi/4)=cos(pi/4)=tfracraiz22, temos
gammal(tfracpi4r) =l(e^pi/4,tfracraiz22,;e^pi/4,tfracraiz22r) =l(tfrace^pi/4raiz2,;tfrace^pi/4raiz2r),
gamma'l(tfracpi4r) =l(e^pi/4l(tfracraiz22+tfracraiz22r),; e^pi/4l(tfracraiz22-tfracraiz22r)r) =l(e^pi/4raiz2,;0r)

Passo 4

A reta tangente em forma paramétrica é
L(s) =gammal(tfracpi4r)+s,gamma'l(tfracpi4r) =l(tfrace^pi/4raiz2+s,e^pi/4raiz2,; tfrace^pi/4raiz2+scdot0r)
Como a componente y do vetor direção é zero, a reta é horizontal.

Resposta

A reta tangente em forma cartesiana é
y=e^pi/4raiz2

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