Exercício 3. Determine gamma^prime(t) quando:
gamma(t)=(e^t^3t^2+1, ln (t^2+1)cos (t)^2+1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetor
gamma(t)=l(x(t),y(t)r) com
x(t)=e^t^3t^2+1 e y(t)=lnl(t^2+1r)cos^2t+1
O conteúdo envolve aplicação da regra da cadeia (para x(t)) e da regra do quociente (para y(t)).

Passo 2

Derivamos x(t)=e^u(t) usando a regra da cadeia:
x'(t)=e^u(t),u'(t),
onde
u(t)=t^3t^2+1
Para u'(t) aplicamos a regra do quociente:
u'(t) =3t^2,(t^2+1)-t^3cdot 2t(t^2+1)^2 =3t^4+3t^2-2t^4(t^2+1)^2 =t^2(t^2+3)(t^2+1)^2
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x'(t) =e^t^3t^2+1 cdott^2(t^2+3)(t^2+1)^2

Passo 3

Derivamos
y(t)=a(t)b(t), a(t)=lnl(t^2+1r), b(t)=cos^2t+1,
pela regra do quociente:
y'(t) =a'(t),b(t)-a(t),b'(t)b(t)^2
Calculamos
a'(t)=2tt^2+1, b'(t)=2cos tcdot(-sin t)=-2sin tcos t
Substituindo,
y'(t) =2tt^2+1,(cos^2t+1) ;-;lnl(t^2+1r),(-2sin tcos t) (cos^2t+1)^2 =2t(cos^2t+1)t^2+1 ;+;2sin tcos t;lnl(t^2+1r) (cos^2t+1)^2

Passo 4

Reunindo as duas componentes, temos
gamma'(t) =l(x'(t),,y'(t)r) =( e^t^3t^2+1, t^2(t^2+3)(t^2+1)^2 ;,; 2t(cos^2t+1)t^2+1 +;2sin tcos t;lnl(t^2+1r) (cos^2t+1)^2 )

Resposta

gamma'(t) =( e^t^3t^2+1, t^2(t^2+3)(t^2+1)^2 ;,; 2t(cos^2t+1)t^2+1 +;2sin tcos t;lnl(t^2+1r) (cos^2t+1)^2 )

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