Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma equação diferencial do tipo
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um método chamado fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e a equação está na forma padrão
, onde
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita a resolução porque agora temos uma equação mais simples para integrar.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo nos dá
, e a do lado direito dá
, onde
é a constante de integração:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: