Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial:
y^prime+y=e^-x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma equação diferencial do tipo y' + y = e^-x . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um método chamado fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Aqui, y' é a derivada de y em relação a x , e a equação está na forma padrão y' + P(x)y = Q(x) , onde P(x) = 1 e Q(x) = e^-x .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) = 1 :
mu(x) = e^integral 1 , dx = e^x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^x :
e^x y' + e^x y = e^x cdot e^-x
Simplificando o lado direito:
e^x y' + e^x y = 1

Passo 5

O lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x)y . Ou seja:
ddx ( e^x y ) = 1
Isso facilita a resolução porque agora temos uma equação mais simples para integrar.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^x y ) , dx = integral 1 , dx
A integração do lado esquerdo nos dá e^x y , e a do lado direito dá x + C , onde C é a constante de integração:
e^x y = x + C

Passo 7

Finalmente, resolvemos para y dividindo ambos os lados por e^x :
y = e^-x (x + C)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^-x (x + C)

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