Resolva a equação diferencial usando o fator integrante:
y^prime+2x y=x^3, x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
y^prime + 2x y = x^3, x > 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o fator integrante. Isso nos ajuda a transformar a equação em uma forma que seja fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação na forma padrão:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
P(x) = 2x e Q(x) = x^3

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( mu(x)). O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral 2x , dx = e^2 ln x = x^2

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por mu(x):
x^2 y^prime + x^2 cdot 2x y = x^2 cdot x^3
Simplificando:
x^2 y^prime + 2x y = x^5

Passo 5

Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x) y:
ddx (x^2 y) = x^5
Isso acontece porque usamos o fator integrante corretamente.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx (x^2 y) , dx = integral x^5 , dx
Isso resulta em:
x^2 y = x^66 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para y:
y = x^66 x^2 + Cx^2 = x^46 + Cx^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = x^46 + Cx^2

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