Vamos resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem:
y^primeprime-y=0
com as condições iniciais:
y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = 0
e as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar pelos valores em x=0.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO, substituindo ysim e^rx:
r^2 - 1 = 0
Resolvendo essa quadrática, obtemos as raízes
r = 1 e r = -1

Passo 3

Como as raízes r=1 e r=-1 são distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C,e^x + D,e^-x,
onde C e D são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos y(0) e y'(0) em termos de C e D:
y(0) = C + D = 1,
y'(x) = C,e^x - D,e^-x Longrightarrow y'(0) = C - D = 0
Isso gera o sistema
C + D = 1, C - D = 0

Passo 5

Somando as duas equações do sistema, 2C = 1 C = tfrac12. Subtraindo, 2D = 1 D = tfrac12.

Resposta

y(x) = 12,e^x + 12,e^-x = cosh(x)

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