Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos achar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é
, que resolve para
.
Passo 3
Com as raízes complexas
, sabemos que a solução da equação homogênea é uma combinação de funções seno e cosseno. Então, a solução complementar (homogênea) é:
onde
e
são constantes que determinamos com as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Observamos que o lado direito da equação é
, então vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original.
Passo 6
Substituindo na equação
, temos:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso resulta em:
Passo 7
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
Resolvendo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
E a solução particular da equação não homogênea é: