Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial. Indique a solução particular da equação não homogênea:
y^prime prime+9 y=t^2 e^2 t,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é y'' + 9y = t^2 e^2t . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos achar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: y'' + 9y = 0 . Para isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é r^2 + 9 = 0 , que resolve para r = pm 3i .

Passo 3

Com as raízes complexas r = pm 3i , sabemos que a solução da equação homogênea é uma combinação de funções seno e cosseno. Então, a solução complementar (homogênea) é:
yc = C1 cos(3t) + C2 sin(3t)
onde C1 e C2 são constantes que determinamos com as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea y'' + 9y = t^2 e^2t . Observamos que o lado direito da equação é t^2 e^2t , então vamos supor que a solução particular tenha a forma:
yp = (At^2 + Bt + C)e^2t
Aqui, A , B e C são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar yp para encontrar yp' e yp'' :
yp' = (2At + B)e^2t + (At^2 + Bt + C)2e^2t = (2At + B + 2At^2 + 2Bt + 2C)e^2t
yp'' = (2A + 2A t^2 + 4At + 2B + 4B t + 4C)e^2t
Agora, substituímos yp , yp' e yp'' na equação original.

Passo 6

Substituindo na equação y'' + 9y = t^2 e^2t , temos:
(4At + 2A t^2 + 4Bt + 2B + 4C)e^2t + 9(At^2 + Bt + C)e^2t = t^2 e^2t
Simplificando:
(4A t + 2A t^2 + 4B t + 2B + 4C) + 9At^2 + 9Bt + 9C = t^2
Agrupando os termos semelhantes:
(2A + 9A)t^2 + (4A + 4B + 9B)t + (2B + 4C + 9C) = t^2
Isso resulta em:
11A t^2 + (4A + 13B)t + (2B + 13C) = t^2

Passo 7

Para que a equação seja válida para todo t , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
11A = 1 4A + 13B = 0 2B + 13C = 0
Resolvendo:
A = 111
4(111) + 13B = 0 Rightarrow B = -4143
2(-4143) + 13C = 0 Rightarrow C = 81859

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 cos(3t) + C2 sin(3t) + (111t^2 - 4143t + 81859)e^2t
E a solução particular da equação não homogênea é:
yp = (111t^2 - 4143t + 81859)e^2t

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