Resolva o problema de valor inicial:
x^2 y^prime+x y=x sin x, x>0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
x^2y'+x,y = xsin x, x>0, y(1)=1
É uma equação linear no formato y'+P(x)y=Q(x). Para isso dividimos por x^2 e obtemos
y' + 1xy = sin xx

Passo 2

Identificamos P(x)=tfrac1x. O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral P(x),dxr)=exp!l(integral tfrac1x,dxr)=x

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x vem
x,y' + y = sin x,
e o lado esquerdo é a derivada de x,y, ou seja
ddxl(x,yr)=sin x

Passo 4

Integramos ambos os lados:
x,y = integral sin x,dx = -cos x + C
e, portanto,
y = -cos x + Cx

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=1:
1 = -cos 1 + C1 Longrightarrow C = 1 + cos 1
Logo a solução é
y(x)=1+cos 1 - cos xx

Resposta

y(x)=1+cos 1 - cos xx

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