Resolva o PVI:
y^prime-4 y=e^3 x cos x, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - 4y = e^3xcos x, y(0)=1
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

A equação está na forma padrão y' + P(x)y = Q(x) com P(x)=-4 e Q(x)=e^3xcos x. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -4,dx = e^-4x
Multiplicando a equação por mu(x) temos
e^-4xy' - 4e^-4xy = e^-4xe^3xcos x Longrightarrow l(y e^-4xr)' = e^-xcos x

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y e^-4x = integral e^-xcos x,dx + C
Para calcular integral e^-xcos x,dx usamos a fórmula
integral e^axcos(bx),dx = e^axa^2+b^2l(acos(bx)+bsin(bx)r)
Aqui a=-1 e b=1, então
integral e^-xcos x,dx = e^-x(-1)^2+1^2l(-1cos x + 1sin xr) = e^-x2(-cos x + sin x)
Logo
y e^-4x = e^-x2(-cos x + sin x) + C

Passo 4

Isolando y e aplicando y(0)=1:
y = e^4xl[e^-x2(-cos x + sin x) + Cr] = e^3x2(sin x - cos x) + C,e^4x
Em x=0 temos
1 = y(0) = e^02(0 - 1) + C,e^0 = -tfrac12 + C Longrightarrow C = tfrac32
Portanto
y = e^3x2(sin x - cos x) + 32e^4x

Resposta

y(x) = e^3x2l(sin x - cos xr) + 32e^4x

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