Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de quarta ordem
O conteúdo é método do polinômio característico para EDOs de coeficientes constantes.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
. Substituindo na EDO obtemos o polinômio característico
Passo 3
Para fatorar usamos a substituição
. Isso transforma em
Resolvendo em
pela fórmula de Bhaskara,
Passo 4
Voltando a
:
- De
vem , logo . - De
vem , logo .
Passo 5
Cada raiz real
gera termos
e
. As raízes complexas conjugadas
geram termos
e
. Assim a solução geral é combinação linear desses quatro modos.
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.