Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
y^(4)(t)-2 y^prime prime(t)-8 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de quarta ordem
y^(4)(t)-2,y''(t)-8,y(t)=0
O conteúdo é método do polinômio característico para EDOs de coeficientes constantes.

Passo 2

Assumimos solução do tipo y(t)=e^r t. Substituindo na EDO obtemos o polinômio característico
r^4 -2,r^2 -8 = 0

Passo 3

Para fatorar usamos a substituição u=r^2. Isso transforma em
u^2 -2,u -8 = 0
Resolvendo em u pela fórmula de Bhaskara,
u = 2 pm raiz(-2)^2 -4cdot1cdot(-8)2 = 2 pm raiz362 = 4,,-2

Passo 4

Voltando a r:
  • De u=4 vem r^2=4, logo r=pm 2.
  • De u=-2 vem r^2=-2, logo r=pm iraiz2.

Passo 5

Cada raiz real pm2 gera termos e^2t e e^-2t. As raízes complexas conjugadas pm iraiz2 geram termos cos(raiz2,t) e sin(raiz2,t). Assim a solução geral é combinação linear desses quatro modos.

Resposta

y(t)=C1,e^2t+C2,e^-2t+C3,cosl(raiz2,tr)+C4,sinl(raiz2,tr),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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