Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
y^prime prime prime(t)+27 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de terceira ordem
y'''(t) + 27,y(t) = 0
O conteúdo é equações lineares com coeficientes constantes; vamos montar o polinômio característico.

Passo 2

Supondo y(t)=e^lambda t, obtemos o polinômio característico
lambda^3 + 27 = 0
Usamos fatoração de soma de cubos lambda^3 + 3^3 = (lambda+3)(lambda^2 - 3lambda + 9).

Passo 3

Das fatorações:
lambda + 3 = 0 Longrightarrow lambda1 = -3,
lambda^2 - 3lambda + 9 = 0 Longrightarrow lambda = 3 pm raiz9 - 362 = 32 pm i,3raiz32
Denotamos lambda2 = tfrac32 + i,tfrac3raiz32 e lambda3 = tfrac32 - i,tfrac3raiz32.

Passo 4

A solução geral complexa é
y(t) = C1 e^-3t + C2 e^lambda2 t + C3 e^lambda3 t
Para obter forma real, agrupamos as partes complexas:
y(t) = C1 e^-3t + e^tfrac32tl(Acosl(tfrac3raiz32tr)+Bsinl(tfrac3raiz32tr)r),
onde A,B são constantes reais equivalentes a combinações lineares de C2,C3.

Resposta

y(t)=C1 e^-3t +e^tfrac32tl(C2cosl(tfrac3raiz32tr) +C3sinl(tfrac3raiz32tr)r),
com C1,C2,C3 constantes arbitrárias.

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