Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Trata-se de uma EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico, supondo uma solução do tipo
.
Passo 2
Substituindo
na EDO, obtemos
Como
, podemos cancelar esse fator e ficamos com o polinômio característico
Passo 3
Fatorando o termo
em evidência, temos
Logo, ou
ou
Passo 4
Para a parte quadrática calculamos o discriminante:
Como
, a equação
possui raiz dupla
Passo 5
As raízes do polinômio característico são
Portanto, a solução geral da EDO é
Como
, podemos simplificar.