Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
4 y^prime prime prime(t)-12 y^prime prime(t)+9 y^prime(t)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
4,y'''(t) - 12,y''(t) + 9,y'(t) = 0
Trata-se de uma EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico, supondo uma solução do tipo y(t)=e^rt.

Passo 2

Substituindo y(t)=e^rt na EDO, obtemos
4r^3 e^rt ;-;12r^2 e^rt;+;9r e^rt;=;0
Como e^rtneq0, podemos cancelar esse fator e ficamos com o polinômio característico
4r^3 - 12r^2 + 9r = 0

Passo 3

Fatorando o termo r em evidência, temos
rl(4r^2 - 12r + 9r) = 0
Logo, ou
r = 0
ou
4r^2 - 12r + 9 = 0

Passo 4

Para a parte quadrática calculamos o discriminante:
De<a = (-12)^2 - 4cdot4cdot9 = 144 - 144 = 0
Como De<a=0, a equação
4r^2 - 12r + 9 = 0
possui raiz dupla
r = 122cdot4 = 32

Passo 5

As raízes do polinômio característico são
r1 = 0(simp<=s), r2 = r3 = tfrac32(dupla)
Portanto, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^0cdot t ;+; C2 e^32t ;+; C3,t,e^32t
Como e^0t=1, podemos simplificar.

Resposta

y(t) = C1 + C2 e^32t + C3,t,e^32t

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