Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
y^prime prime prime(t)+3 y^prime(t)-4 y(t)=0, com r1=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y'''(t) + 3,y'(t) - 4,y(t) = 0
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico: assumimos y(t)=e^rt, obtemos uma equação em r, fatoramos usando a raiz dada r1=1 e depois achamos as demais raízes para montar a solução geral.

Passo 2

Partindo de y(t)=e^rt, temos
y'(t)=r e^rt, y''(t)=r^2 e^rt, y'''(t)=r^3 e^rt
Substituindo na EDO e dividindo por e^rtneq0 dá o polinômio característico
r^3 + 3r - 4 = 0

Passo 3

Como r1=1 é raiz, fatoramos r^3+3r-4 dividindo por (r-1). A divisão sintética ou polinomial resulta em
r^3 + 0,r^2 + 3r - 4 = (r - 1),(r^2 + r + 4)

Passo 4

Agora achamos as raízes de r^2 + r + 4 = 0 usando a fórmula quadrática:
r = -1 pm raiz1 - 162 = -1 pm iraiz152
Chamando
alpha = -tfrac12, beta = tfracraiz152,
as raízes complexas ficam r2,3 = alpha pm ibeta.

Passo 5

Para raízes reais r1=1 e complexas conjugadas alphapm ibeta, a solução geral real é
y(t) = C1,e^r1t + e^alpha tl(C2cos(beta t) + C3sin(beta t)r)

Resposta

y(t) = C1,e^t + e^-tfract2l(C2cosl(tfracraiz152,tr) + C3sinl(tfracraiz152,tr)r)

Exercícios relacionados