Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
y^prime prime prime(t)+5 y^prime prime(t)+10 y^prime(t)+12 y(t)=0, com r1=-3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de terceira ordem
y'''(t) + 5,y''(t) + 10,y'(t) + 12,y(t) = 0
usando o polinômio característico. O conteúdo que vamos usar inclui:
  1. Transformar a EDO em equação algébrica no parâmetro r.
  2. Fatorar o polinômio característico sabendo que uma raiz é r1 = -3.
  3. Encontrar as demais raízes e montar a solução geral a partir delas.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo y(t)=e^r t na EDO:
chi(r) = r^3 + 5r^2 + 10r + 12 = 0

Passo 3

Como sabemos que r1 = -3 é raiz, podemos dividir chi(r) por (r + 3). Fazendo a divisão polinomial, obtemos
r^3 + 5r^2 + 10r + 12 = (r + 3)l(r^2 + 2r + 4r)

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
r^2 + 2r + 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot42 = -2 pm raiz-122 = -1 pm iraiz3
Portanto as raízes são r2 = -1 + iraiz3 e r3 = -1 - iraiz3.

Passo 5

A solução geral de uma EDO homogênea com raízes reais e complexas conjugadas é
y(t) = C1 e^r1 t + e^Re(r2)tl[C2cos(Im(r2),t) + C3sin(Im(r2),t)r]
Substituindo r1=-3, Re(r2)=-1 e Im(r2)=raiz3, obtemos a solução real:

Resposta

y(t) = C1 e^-3t + e^-tl(C2cos(raiz3,t) + C3sin(raiz3,t)r),
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

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