Encontre a solução geral das seguintes EDO homogêneas encontrando e fatorando seu polinômio característico (caso seja necessário, use as raízes dadas para fatorar o polinômio característico)
, com
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de terceira ordem
usando o polinômio característico. O conteúdo que vamos usar inclui:
- Transformar a EDO em equação algébrica no parâmetro
. - Fatorar o polinômio característico sabendo que uma raiz é
. - Encontrar as demais raízes e montar a solução geral a partir delas.
Passo 2
Formamos o polinômio característico substituindo
na EDO:
Passo 3
Como sabemos que
é raiz, podemos dividir
por
. Fazendo a divisão polinomial, obtemos
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
Usando a fórmula de Bhaskara,
Portanto as raízes são
e
.
Passo 5
A solução geral de uma EDO homogênea com raízes reais e complexas conjugadas é
Substituindo
,
e
, obtemos a solução real:
Resposta
onde
,
e
são constantes arbitrárias.