Encontre a solução do problema de valor inicial:
\ddot{y}-\dot{y}+0.25 y=0 ; \quad y(0)=2, \dot{y}(0)=\frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a EDO
\ddot{y}-\dot{y}+0.25\,y=0,
com condições y(0)=2 e \dot{y}(0)=\tfrac{1}{3}.
O método envolve achar a equação característica, determinar suas raízes e usar a solução geral de uma EDO linear com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica trocando \ddot{y}\to r^2, \dot{y}\to r e y\to1:
r^2 - r + 0.25 = 0.
O discriminante é \Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot0.25 = 1 - 1 = 0, logo há raiz dupla
r = \frac{1}{2}.

Passo 3

Para raiz dupla r=\tfrac12, a solução geral da EDO homogênea é
y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{\tfrac{t}{2}}.

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
De y(0)=2 vem
y(0) = C_1 = 2.
Para \dot{y}(t), derivamos
\dot{y}(t) = \frac{d}{dt}\bigl[(C_1 + C_2\,t)e^{\tfrac{t}{2}}\bigr] = \bigl(C_2 + \tfrac12(C_1 + C_2\,t)\bigr)e^{\tfrac{t}{2}}.
Em t=0 temos
\dot{y}(0) = \bigl(C_2 + \tfrac12 C_1\bigr) = \tfrac{1}{3}.
Como C_1=2, fica
C_2 + 1 = \tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -\tfrac{2}{3}.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = \Bigl(2 - \tfrac{2}{3}\,t\Bigr)e^{\tfrac{t}{2}}.

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