Resolva o problema de valor inicial:
. Em seguida, encontre
de modo que a solução tenda a zero quando
.
7) Determine os valores de
(se existirem) para os quais todas as soluções tendem a zero quando
.
7) Determine os valores de
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da EDO linear homogênea com coeficientes constantes
sujeita a
e então escolher
de modo que a solução tenda a zero quando
. Em seguida (item 7) queremos ver, num caso em que a constante que multiplica
seja um parâmetro
, para quais valores de
todas as soluções de
tendem a zero quando
.
Passo 2
Para a EDO
montamos a equação característica
Logo a solução geral é
Passo 3
Impondo as condições iniciais
temos o sistema
Resolvendo,
Passo 4
Logo a solução particular do valor inicial é
Passo 5
Para que
quando
, o termo que cresce como
deve ter coeficiente zero, isto é
Passo 6
Agora, para o item 7, consideramos a EDO parametrizada
A equação característica fica
Dependendo de
:
- Se
, então real, um positivo e outro negativo, e a exponencial associada ao cresce. - Se
, então duplo e a solução é da forma , que não tende a zero (cresce linearmente ou fica constante). - Se
, então é imaginário e os autovalores são puramente imaginários , gerando oscilações de amplitude constante.
Passo 7
Em nenhum caso real de
ambos os modos exponenciais têm parte real negativa. Portanto não existe valor real de
que faça todas as soluções de
tenderem a zero quando
.
Resposta
Para o problema dado:
.
Para o item 7: não existe valor de que torne todas as soluções decrescentes a zero.
Para o item 7: não existe valor de