Resolva o problema de valor inicial: 4 \ddot{y}-y=0 ; \quad y(0)=2, \dot{y}(0)=\beta. Em seguida, encontre \beta de modo que a solução tenda a zero quando t \rightarrow \infty.
7) Determine os valores de \alpha (se existirem) para os quais todas as soluções tendem a zero quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da EDO linear homogênea com coeficientes constantes
4\,\ddot y - y = 0,
sujeita a
y(0)=2,\quad \dot y(0)=\beta,
e então escolher \beta de modo que a solução tenda a zero quando t\to\infty. Em seguida (item 7) queremos ver, num caso em que a constante que multiplica y seja um parâmetro \alpha, para quais valores de \alpha todas as soluções de
4\,\ddot y - \alpha\,y=0
tendem a zero quando t\to\infty.

Passo 2

Para a EDO
4\,\ddot y - y=0
montamos a equação característica
4\,r^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = \tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm \tfrac12.
Logo a solução geral é
y(t) = C\,e^{t/2} + D\,e^{-t/2}.

Passo 3

Impondo as condições iniciais
y(0)=2\;\Longrightarrow\;C+D=2,
\dot y(t)=\tfrac12\,C\,e^{t/2}-\tfrac12\,D\,e^{-t/2} \;\Longrightarrow\; \dot y(0)=\beta\;\Longrightarrow\;\tfrac12\,C - \tfrac12\,D = \beta,
temos o sistema
\begin{cases} C + D = 2,\\\ C - D = 2\,\beta. \end{cases}
Resolvendo,
C = 1 + \beta, \quad D = 1 - \beta.

Passo 4

Logo a solução particular do valor inicial é
y(t) = (1+\beta)\,e^{t/2} \;+\;(1-\beta)\,e^{-t/2}.

Passo 5

Para que y(t)\to0 quando t\to\infty, o termo que cresce como e^{t/2} deve ter coeficiente zero, isto é
1+\beta=0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -1.

Passo 6

Agora, para o item 7, consideramos a EDO parametrizada
4\,\ddot y - \alpha\,y=0.
A equação característica fica
4\,r^2 - \alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm \tfrac{\sqrt{\alpha}}{2}.
Dependendo de \alpha\in\mathbb{R}:
  • Se \alpha>0, então r=\pm(\sqrt\alpha/2) real, um positivo e outro negativo, e a exponencial associada ao r>0 cresce.
  • Se \alpha=0, então r=0 duplo e a solução é da forma y(t)=At+B, que não tende a zero (cresce linearmente ou fica constante).
  • Se \alpha<0, então \sqrt\alpha é imaginário e os autovalores são puramente imaginários \pm i\,|\sqrt\alpha|/2, gerando oscilações de amplitude constante.

Passo 7

Em nenhum caso real de \alpha ambos os modos exponenciais têm parte real negativa. Portanto não existe valor real de \alpha que faça todas as soluções de
4\,\ddot y - \alpha\,y=0
tenderem a zero quando t\to\infty.

Resposta

Para o problema dado:
\beta=-1.
Para o item 7: não existe valor de \alpha\in\mathbb{R} que torne todas as soluções decrescentes a zero.

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