Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\frac{1}{x}, \quad x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y''-4y'+4y=\frac{1}{x},\quad x>0,
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo \tfrac1x. Para resolver, vamos encontrar a solução geral como
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h é a solução da homogênea associada e y_p é uma solução particular obtida pelo método de variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea é
y''-4y'+4y=0.
Procurando y=e^{rx} obtemos a equação característica
r^2-4r+4=0\;\Longrightarrow\;(r-2)^2=0,
com raiz dupla r=2. Logo
y_h(x)=(C_1+C_2x)e^{2x}.

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos as duas soluções independentes
y_1=e^{2x},\quad y_2=xe^{2x}.
O Wronskiano dessas soluções é
W=\begin{vmatrix}y_1&y_2\y_1'&y_2'\end{vmatrix} =e^{2x}\bigl(e^{2x}+2xe^{2x}\bigr)-2e^{2x}\cdot xe^{2x} =e^{4x}.

Passo 4

Definimos funções u_1(x) e u_2(x) sujeitas a
u_1'y_1+u_2'y_2=0,\quad u_1'y_1'+u_2'y_2'=\frac{1}{x}.
Das fórmulas de variação de parâmetros segue
u_1'=-\frac{y_2}{W}\,\frac1x=-\frac{xe^{2x}}{e^{4x}}\frac1x=-e^{-2x}, \quad u_2'=\frac{y_1}{W}\,\frac1x=\frac{e^{2x}}{e^{4x}}\frac1x=\frac{e^{-2x}}{x}.
Integrando,
u_1=\int -e^{-2x}\,dx=\tfrac12e^{-2x}, \quad u_2=\int \frac{e^{-2x}}{x}\,dx=\mathrm{Ei}(-2x),
onde \mathrm{Ei}(z)=\displaystyle\int_{-\infty}^{z}\frac{e^t}{t}\,dt é a função integral exponencial.

Passo 5

A solução particular é
y_p=u_1y_1+u_2y_2 =\tfrac12e^{-2x}\,e^{2x}+\mathrm{Ei}(-2x)\,x e^{2x} =\tfrac12 + x e^{2x}\,\mathrm{Ei}(-2x).
Logo a solução geral da EDO é
y(x)=y_h(x)+y_p(x) =(C_1+C_2x)e^{2x}+\tfrac12 + x e^{2x}\,\mathrm{Ei}(-2x).

Resposta

y(x)=(C_1+C_2x)e^{2x}+\frac12 + x e^{2x}\,\mathrm{Ei}(-2x), \quad x>0,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias e \mathrm{Ei}(-2x) é a integral exponencial.

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