Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
. Para resolver, vamos encontrar a solução geral como
onde
é a solução da homogênea associada e
é uma solução particular obtida pelo método de variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea é
Procurando
obtemos a equação característica
com raiz dupla
. Logo
Passo 3
Para variação de parâmetros tomamos as duas soluções independentes
O Wronskiano dessas soluções é
Passo 4
Definimos funções
e
sujeitas a
Das fórmulas de variação de parâmetros segue
Integrando,
onde
é a função integral exponencial.
Passo 5
A solução particular é
Logo a solução geral da EDO é
Resposta
onde
são constantes arbitrárias e
é a integral exponencial.