Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + 4y = x^2
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método clássico de escrever
y(x) = y_c(x) + y_p(x),
onde y_c é a solução da equação homogênea associada e y_p é uma particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y'' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0
com raízes r = \pm 2i. Logo a solução complementar é
y_c(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para a parte não homogênea x^2. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, assumimos
y_p(x) = A x^2 + B x + C.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p e substituímos na EDO:
y_p'' = 2A,
y_p'' + 4y_p = 2A + 4\bigl(Ax^2 + Bx + C\bigr) = 4A x^2 + 4B x + (4C + 2A).
Para que isso seja igual a x^2, comparamos coeficientes:
4A = 1,\quad 4B = 0,\quad 4C + 2A = 0.
Dessa forma,
A = \tfrac{1}{4},\quad B = 0,\quad 4C + 2\bigl(\tfrac14\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; C = -\tfrac{1}{8}.

Passo 5

Logo, a solução particular é
y_p(x) = \tfrac{1}{4}x^2 - \tfrac{1}{8}.
Somando as duas partes, obtemos a solução geral

Resposta

y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) + \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{8}.

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