Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método clássico de escrever
onde
é a solução da equação homogênea associada e
é uma particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
com raízes
. Logo a solução complementar é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a parte não homogênea
. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, assumimos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos na EDO:
Para que isso seja igual a
, comparamos coeficientes:
Dessa forma,
Passo 5
Logo, a solução particular é
Somando as duas partes, obtemos a solução geral