Encontre a solução geral das seguintes EDOs: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=\cos (2 x)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO
y'' + 2y' + 5y = \cos(2x),
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar (1) a solução da equação homogênea associada e (2) o método dos coeficientes não determinados para encontrar uma particular.
Agora procuramos uma solução particular y_p do tipo
y_p(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x),
pois o termo forçante é \cos(2x) e não há ressonância com as raízes -1\pm2i.
Passo 4
Calculamos
y_p' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x),
y_p''= -4A\cos(2x) -4B\sin(2x).
Substituindo em y''+2y'+5y\) obtemos o coeficiente de \(\cos(2x)\):
\[(-4A) + 2\cdot(2B) + 5A = A + 4B
e o de \sin(2x):
(-4B) + 2\cdot(-2A) + 5B = -4A + B.
Igualando ao termo forçante \cos(2x) (onde o coeficiente de \cos(2x) deve ser 1 e de \sin(2x) deve ser 0) formamos o sistema
\begin{cases} A + 4B = 1,\\\\ -4A + B = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem (B = 4A]. Substituindo na primeira: A + 4\,(4A) = 1 \;\Longrightarrow\; 17A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac{1}{17},
logo B = 4A = \tfrac{4}{17}.