Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=\cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO
y'' + 2y' + 5y = \cos(2x),
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar (1) a solução da equação homogênea associada e (2) o método dos coeficientes não determinados para encontrar uma particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
y_h'' + 2y_h' + 5y_h = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 5 = 0,
cuja solução pelo discriminante dá
r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm 2i.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr).

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_p do tipo
y_p(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x),
pois o termo forçante é \cos(2x) e não há ressonância com as raízes -1\pm2i.

Passo 4

Calculamos
y_p' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x),
y_p''= -4A\cos(2x) -4B\sin(2x).
Substituindo em y''+2y'+5y\) obtemos o coeficiente de \(\cos(2x)\): \[(-4A) + 2\cdot(2B) + 5A = A + 4B
e o de \sin(2x):
(-4B) + 2\cdot(-2A) + 5B = -4A + B.
Igualando ao termo forçante \cos(2x) (onde o coeficiente de \cos(2x) deve ser 1 e de \sin(2x) deve ser 0) formamos o sistema
\begin{cases} A + 4B = 1,\\\\ -4A + B = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem (B = 4A]. Substituindo na primeira:
A + 4\,(4A) = 1 \;\Longrightarrow\; 17A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac{1}{17},
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B = 4A = \tfrac{4}{17}.

Passo 5

A solução particular é
y_p(x) = \tfrac{1}{17}\cos(2x) + \tfrac{4}{17}\sin(2x),
e a solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr) + \tfrac{1}{17}\cos(2x) + \tfrac{4}{17}\sin(2x).

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr) + \frac{1}{17}\cos(2x) + \frac{4}{17}\sin(2x).

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