Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 9y = e^{3x}.
O conteúdo envolve resolver a parte homogênea (achando as raízes da equação característica) e depois aplicar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' + 6y' + 9y = 0.
A equação característica é
r^2 + 6r + 9 = 0,
que pode ser fatorada como (r+3)^2=0. Logo, há raiz dupla r=-3 e a solução homogênea é
y_h(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{-3x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
y'' + 6y' + 9y = e^{3x}.
Como o termo do lado direito é e^{3x}, tentamos
y_p(x) = A\,e^{3x}.
Calculamos
y_p' = 3A\,e^{3x}, \quad y_p'' = 9A\,e^{3x},
então
y_p'' + 6y_p' + 9y_p = (9A + 18A + 9A)\,e^{3x} = 36A\,e^{3x}.
Para igualar a e^{3x}, precisamos de 36A=1, isto é
A = \tfrac{1}{36}.
Portanto
y_p(x) = \tfrac{1}{36}\,e^{3x}.

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{-3x} + \tfrac{1}{36}\,e^{3x}.

Resposta

y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{-3x} + \frac{1}{36}\,e^{3x}.

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