Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
y^{\prime \prime}-y=x e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' - y = x e^{x}
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver vamos (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada e (2) determinar uma solução particular por método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Estudamos primeiro a homogênea
y'' - y = 0.
A equação característica é
r^{2} - 1 = 0
cuja raiz dupla é r=\pm1. Logo, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}.

Passo 3

Para obter uma solução particular y_{p} de
y'' - y = x e^{x}
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como e^{x} já está na homogênea (raiz simples r=1), multiplicamos o palpite usual (Ax+B)e^{x} por x. Assim, assumimos
y_{p}(x) = (A x^{2} + B x)\,e^{x}.

Passo 4

Calculamos y_{p}' e y_{p}'': definindo U(x)=A x^{2}+(2A+B)x+B, obtém-se
y_{p}' = U(x)e^{x}, \quad y_{p}'' = \bigl(U'(x)+U(x)\bigr)e^{x} = \bigl(A x^{2} + (4A+B)x + (2A+2B)\bigr)e^{x}.
Substituindo em y''-y resulta
y_{p}'' - y_{p} =\bigl(4A\,x + (2A+2B)\bigr)e^{x}
que deve ser igual a x e^{x}. Igualando coeficientes de x e termo constante:
4A=1, \quad 2A+2B=0
de onde A=\tfrac14 e B=-\tfrac14.

Passo 5

Substituindo em y_{p} obtemos
y_{p}(x)=\Bigl(\tfrac14x^{2}-\tfrac14x\Bigr)e^{x} =\frac{x^{2}-x}{4}\,e^{x}.
Pela superposição, a solução geral da EDO é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+\frac{x^{2}-x}{4}\,e^{x}.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+\frac{x^{2}-x}{4}\,e^{x}.

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