Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver vamos (1) encontrar a solução geral da equação homogênea associada e (2) determinar uma solução particular por método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Estudamos primeiro a homogênea
A equação característica é
cuja raiz dupla é
. Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para obter uma solução particular
de
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como
já está na homogênea (raiz simples
), multiplicamos o palpite usual
por
. Assim, assumimos
Passo 4
Calculamos
e
: definindo
, obtém-se
Substituindo em
resulta
que deve ser igual a
. Igualando coeficientes de
e termo constante:
de onde
e
.
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Pela superposição, a solução geral da EDO é