• Questão 2. Resolva o PVI:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=x, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - y' - 2y = x,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A estratégia é: (1) encontrar a solução geral da equação homogênea, (2) obter um particular por coeficientes indeterminados e (3) ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - y' - 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0,
cuja solução é
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Logo, a solução geral da parte homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Para um particular, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, fazemos o palpite
y_p(x) = A x + B.
Então
y_p'(x) = A,\quad y_p''(x)=0.
Substituindo em y''-y'-2y=x
0 - A - 2(Ax + B) = x \quad\Longrightarrow\quad -2A\,x + (-A - 2B) = x.
Igualando coeficientes em x e termo constante:
-2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac12,
-A - 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac12 - 2B = 0\quad\Rightarrow\quad B = \tfrac14.
Logo
y_p(x) = -\tfrac12\,x + \tfrac14.

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - \tfrac12\,x + \tfrac14.
Calculamos y'(x):
y'(x) = 2C_1 e^{2x} - C_2 e^{-x} - \tfrac12.
Usando as condições iniciais:
y(0)=0\;\Rightarrow\;C_1 + C_2 + \tfrac14 = 0\quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = -\tfrac14,
y'(0)=1\;\Rightarrow\;2C_1 - C_2 - \tfrac12 = 1\quad\Longrightarrow\quad 2C_1 - C_2 = \tfrac32.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = -\tfrac14,\\\\ 2C_1 - C_2 = \tfrac32, \end{cases}
somando as duas equações vem
3C_1 = \tfrac54\quad\Rightarrow\quad C_1 = \tfrac{5}{12}, \quad C_2 = -\tfrac14 - \tfrac{5}{12} = -\tfrac{2}{3}.

Resposta

y(x) = \frac{5}{12}\,e^{2x} \;-\;\frac{2}{3}\,e^{-x}\;-\;\frac12\,x\;+\;\frac14.

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