• Questão 1. Resolva o PVI:
y^{\prime \prime}+4 y=\cos (2 x), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O problema é o PVI
y'' + 4y = \cos(2x),\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O método será primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada, depois um particular por coeficientes a determinar (método dos coeficientes a determinar com ressonância) e, por fim, usar as condições iniciais para fixar as constantes.

Passo 2

Equação homogênea associada:
y_h'' + 4y_h = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0\;\Longrightarrow\; r = \pm 2i.
Logo
y_h(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x).

Passo 3

Como o termo forçante \cos(2x) está na forma de uma solução da homogênea, temos ressonância de ordem 1. Tentamos
y_p(x) = x\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr).
Calculamos y_p' e y_p'' e substituímos em y''+4y=\cos(2x).

Passo 4

Após derivar e agrupar, obtém-se
y_p'' + 4y_p = 4B\cos(2x) - 4A\sin(2x)
e é preciso que isso seja igual a \cos(2x). Assim, igualando coeficientes:
4B = 1 \;\Longrightarrow\; B = \tfrac14, \qquad -4A = 0 \;\Longrightarrow\; A = 0.
Logo
y_p(x) = \frac{x}{4}\,\sin(2x).

Passo 5

A solução geral é
y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{x}{4}\sin(2x).
Usando y(0)=1:
y(0)=C_1\cdot1 + C_2\cdot0 + 0 = 1 \;\Longrightarrow\; C_1=1.
Calculamos
y'(x) = -2C_1\sin(2x) + 2C_2\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{x}{2}\cos(2x).
Em x=0,
y'(0) = -2\cdot1\cdot0 + 2C_2\cdot1 + 0 + 0 = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = 0.

Resposta

\boxed{y(x) = \cos(2x) + \frac{x}{4}\,\sin(2x).}

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